《自动控制原理》第三章：线性系统的时域分析法
《自动控制原理》第三章：线性系统的时域分析法
自动控制原理是现代工程领域的重要基础理论之一，其中线性系统的时域分析方法是理解和设计控制系统的关键。本文将详细介绍线性系统在时域中的各种分析方法，包括性能指标的定义、不同阶数系统的响应特性、稳定性分析、稳态误差计算以及控制系统的设计方法。通过这些内容的学习，读者将能够全面掌握线性系统时域分析的基本理论和实用技巧。
第三章 线性系统的时域分析法
3-1系统时间响应的性能指标
上升时间（$t_r$）：通常指的是系统响应从稳态值的 10% 上升到 90% 所需要的时间（对于欠阻尼二阶系统等情况），它反映了系统响应的快速性，上升时间越短，意味着系统能更快地达到期望的输出状态。比如在一个温度控制系统中，从设定温度的 10% 上升到 90% 对应的实际温度变化所花费的时间就是该系统此次响应的上升时间。
峰值时间（$t_p$）：是指系统响应达到第一个峰值所需要的时间。在二阶欠阻尼系统的阶跃响应中，会出现振荡，出现第一个最大值对应的时间点就是峰值时间，这个指标可以帮助判断系统响应的振荡特性及响应速度在达到峰值阶段的情况。
调节时间（$t_s$）：也叫过渡时间，是指系统响应达到并保持在稳态值的一定误差范围内（如±5% 或 ±2%）所需要的时间。它体现了系统从初始状态过渡到稳定状态的总体快慢程度，是衡量系统动态性能后期表现的关键指标，例如在电机转速控制系统中，电机转速稳定在设定转速的一定误差范围内所花的时长就是调节时间。
超调量（$\sigma%$）：超调量是指系统响应超出稳态值的最大偏离量与稳态值之比的百分数，即
$$
\sigma%=\frac{y_{max}-y(\infty)}{y(\infty)}\times100%
$$
（其中$y_{max}$是响应的最大值，$y(\infty)$是稳态值）。超调量反映了系统响应的振荡程度，超调量过大可能意味着系统的稳定性欠佳或者控制不够精准，像一些自动化生产线的位置控制系统，超调量大会影响定位的准确性和效率。
这些性能指标相互配合，能全面地评估一个系统的动态性能，为后续系统的改进、优化等提供依据。
3-2一阶系统的时域分析
单位阶跃响应：对于一阶系统，其传递函数一般形式为
$$
G(s)=\frac{1}{Ts + 1}
$$
（T 为时间常数），当输入为单位阶跃信号 $u(t)$（其拉普拉斯变换为 $U(s)=\frac{1}{s}$）时，系统的输出
$$
Y(s)=G(s)U(s)=\frac{1}{s(Ts + 1)}
$$
经过拉普拉斯反变换可得时域响应
$$
y(t)=1 - e^{-\frac{t}{T}}
$$
它呈现出从初始值 0 开始，按指数规律逐渐趋近于稳态值 1 的变化过程，时间常数 T 决定了趋近的速度，T 越小，系统响应越快，能越快达到稳态。单位斜坡响应：当输入为单位斜坡信号 $r(t)=t$（拉普拉斯变换为 $R(s)=\frac{1}{s^{2}}$）时，对于上述一阶系统，输出
$$
Y(s)=G(s)R(s)=\frac{1}{s^{2}(Ts + 1)}
$$
反变换后得到
$$
y(t)=t - T(1 - e^{-\frac{t}{T}})
$$
其响应是在输入斜坡信号基础上，有一个与时间常数相关的偏差项，反映了一阶系统跟踪斜坡输入时的动态特性，随着时间推移，偏差会逐渐减小。单位脉冲响应：单位脉冲信号 $\delta(t)$ 的拉普拉斯变换为 1，对于一阶系统，输出
$$
Y(s)=G(s)\times1=\frac{1}{Ts + 1}
$$
反变换后可得
$$
y(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}}
$$
呈现出从初始的一个脉冲冲击后按指数衰减的过程，时间常数同样影响衰减的快慢，通过分析单位脉冲响应可以了解系统本身的固有特性和动态响应的基础特点。
3-3二阶系统的时域分析
二阶系统的特征参数与性能指标的关系：二阶系统的传递函数一般表示为
$$
G(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2} + 2\zeta\omega_{n}s + \omega_{n}^{2}}
$$
（其中 $\omega_n$ 是无阻尼自然频率，$\zeta$ 是阻尼比）。阻尼比 $\zeta$ 决定了系统的阻尼特性，当 $\zeta > 1$ 时为过阻尼，$\zeta = 1$ 时为临界阻尼，$0 < \zeta < 1$ 时为欠阻尼，$\zeta = 0$ 时为无阻尼。不同的阻尼比下，系统的性能指标如上升时间、峰值时间、超调量等会有很大差异。例如，欠阻尼情况下系统响应会有振荡，超调量随着阻尼比减小而增大；过阻尼时则没有振荡，响应相对较缓慢地趋近稳态值。无阻尼自然频率 $\omega_n$ 影响系统响应的总体快慢节奏，在其他参数一定时，$\omega_n$ 越大，响应速度在一定程度上会越快。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应：在欠阻尼（$0<\zeta<1$）情况下，系统的单位阶跃响应为
$$
y(t)=1 - \frac{e^{-\zeta\omega_{n}t}}{\sqrt{1 - \zeta^{2}}} \sin(\omega_{d}t + \varphi)
$$
（其中 $\omega_d=\omega_{n}\sqrt{1 - \zeta^{2}}$ 为阻尼振荡频率，$\varphi = \arctan(\frac{\sqrt{1 - \zeta^{2}}}{\zeta})$）。其响应曲线呈现出振荡并逐渐趋近稳态值 1 的过程，有明显的超调量和振荡周期等特征，通过分析这些特征可以深入了解系统在欠阻尼状态下的动态表现以及对输入的跟踪能力。过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：当 $\zeta > 1$ 时，系统的单位阶跃响应表达式相对复杂，它是由两个衰减的指数项组成，整体上是单调递增地趋近稳态值，没有振荡现象，响应速度相较于欠阻尼情况通常较慢，更侧重于平稳地过渡到稳态，常用于对稳定性要求较高、不希望出现振荡的系统场景中。
3-4高阶系统的时域分析
主导极点的概念：在高阶系统中，极点的分布情况很复杂，但往往存在部分极点对系统的时域响应起主要作用，这些极点就是主导极点。主导极点一般是距离虚轴较近且周围没有其他极点或零点严重影响的极点，它们所对应的暂态响应分量在整个系统响应中衰减最慢、幅值较大，从而主导了系统的主要动态特性，就好像在一个集体中起关键引领作用一样，其他极点对应的响应分量相对快速衰减，对系统长时间的动态表现影响较小。
用主导极点分析高阶系统的近似方法：基于主导极点的特性，我们可以忽略那些对系统长时间动态表现影响小的非主导极点，将高阶系统近似看成是由主导极点构成的低阶系统（比如近似看成二阶系统等）来进行分析。例如，一个高阶系统有多个极点，但经过分析发现有一对共轭复数极点距离虚轴最近且满足主导极点的条件，那么就可以根据这对主导极点对应的二阶系统的分析方法来估算该高阶系统的动态性能指标，如上升时间、超调量等，这样大大简化了对复杂高阶系统的分析难度，同时又能在一定程度上较准确地把握其主要动态特性。
3-5线性系统的稳定性分析
线性系统稳定性的概念：简单来说，如果一个线性系统在受到有界输入时，其输出始终是有界的，那么这个系统就是稳定的。直观理解就是，不管给系统输入怎样合理范围内的信号，系统不会出现无限制增长、发散等失控的输出情况，而是能稳定在一定的合理范围内。例如，在一个稳定的电路控制系统中，无论输入电压在规定的正常波动范围内如何变化，电路中的电流、各元件两端的电压等输出量都不会出现无限增大等异常情况。
稳定的充要条件：对于线性定常系统，其特征方程的所有根（也就是系统的极点）都具有负实部，即极点都位于复平面的左半平面时，系统是稳定的。这意味着系统的自由响应会随着时间不断衰减趋于零，从而保证系统整体的稳定性，只要有一个极点位于右半平面或者虚轴上（除了原点处的单极点这种特殊稳定情况外），系统就是不稳定的或者临界稳定的。
常用的稳定性判据（如劳斯稳定判据）：劳斯稳定判据是一种通过分析系统特征方程系数来判断系统稳定性的代数方法。它先根据系统的特征方程写出劳斯阵列，然后通过观察劳斯阵列中第一列元素的符号来判断稳定性。如果第一列元素的符号全部相同（均为正或均为负），则系统是稳定的；若第一列元素出现符号变化，那么符号变化的次数就等于系统在右半平面的极点个数，比如出现两次符号变化，说明系统有两个极点位于右半平面，系统就是不稳定的。该判据不需要直接求解特征方程的根，就能对系统稳定性做出判断，在系统分析与设计中应用很广泛。
3-6线性系统的稳态误差计算
稳态误差的概念：稳态误差是指系统进入稳态后，期望输出与实际输出之间的差值，它反映了系统在稳态时的控制精度。例如在一个温度控制系统中，设定温度为 50℃，当系统运行一段时间后稳定下来，但实际温度稳定在 49℃，那么稳态误差就是 1℃，体现了系统最终没能精准达到设定值的偏差情况。
计算方法：
根据定义求取误差传递函数：首先要确定系统的开环传递函数 $G(s)$，然后根据误差的定义
$$
E(s)=R(s)-Y(s)
$$
（其中 $R(s)$ 是输入信号的拉普拉斯变换，$Y(s)$ 是输出信号的拉普拉斯变换），结合系统的结构关系，推导出误差传递函数
$$
\Phi_{e}(s)=\frac{E(s)}{R(s)} = 1 - \frac{Y(s)}{R(s)} = 1 - G(s)H(s)
$$
（$H(s)$ 为反馈传递函数，对于单位反馈系统 $H(s)=1$）。由终值定理计算稳态误差：在得到误差传递函数 $\Phi_{e}(s)$ 后，利用终值定理
$$
e_{ss}=\lim_{t \to \infty} e(t)=\lim_{s \to 0} s\Phi_{e}(s)
$$
来计算稳态误差。不同类型的输入信号（如阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号等）对应的稳态误差计算结果会有所不同，并且与系统的开环传递函数的型别（如 0 型、I 型、II 型等）以及开环增益等因素密切相关。
3-7控制系统时域设计
基本方法和步骤：
根据性能指标要求确定系统的参数：首先明确对系统动态性能（如上升时间、超调量、调节时间等）和稳态性能（如稳态误差）的具体指标要求，然后结合前面所讲的各系统分析理论（比如一阶、二阶系统性能指标与参数的关系等），通过计算和推导来确定系统传递函数中的关键参数，例如时间常数、阻尼比、无阻尼自然频率、开环增益等。例如，如果要求一个二阶系统的超调量不超过 20%，调节时间在一定范围内，就可以根据超调量和调节时间与阻尼比、无阻尼自然频率的关系式反推出合适的阻尼比和无阻尼自然频率的值，进而确定系统的参数。
设计校正装置：当原系统的性能不能满足要求时，就需要设计校正装置来改善系统性能。常见的校正装置有超前校正、滞后校正、滞后-超前校正等类型。比如超前校正装置可以通过改变系统的相频特性，增加系统的相角裕度，提高系统的快速性和稳定性，一般适用于对动态性能要求较高但原系统相角裕度不足的情况；滞后校正装置则主要通过降低系统的高频增益，提高系统的稳态精度，常用于改善系统的稳态误差问题；滞后-超前校正综合了两者的优点，可以在多个方面对系统性能进行优化调整。在校正装置设计过程中，需要根据具体的性能缺陷和目标，选择合适的校正类型，并通过计算确定校正装置的参数，然后将其接入系统中，再验证系统是否满足所有性能指标要求。
这些内容都是自动控制原理中非常重要的部分，它们相互关联，共同帮助我们对控制系统进行全面的分析、设计与优化。
