光的折射和斯涅尔定律

光的折射和斯涅尔定律

光的折射现象在生活中随处可见，比如在游泳池中观察到的水下物体位置偏移，或者透过玻璃看物体时的视觉变化。这些现象都可以用斯涅尔定律来解释。本文将从折射率的概念出发，通过费马原理推导出斯涅尔定律，并探讨其在实际中的应用。

折射率

折射率定义为介质中光速与真空中光速之比。它是一个无量纲量，通常用字母$n_k$表示：

$$
n_k=\frac{c}{c_k}
$$

其中$c$为真空中的光速，$c_k$为介质$k$中的光速。由于光在任何介质中的传播速度都比在真空中慢，因此折射率总是大于或等于1。

费马原理

光速取决于它所传播的介质。介质的折射率越高，光在其中的传播速度越慢；与此相关，费马原理如下表述：

光从一个点传播到另一个点时，选择了使传播时间最短的路径。即使光穿过不同介质，这一原理仍然适用。

光折射的斯涅尔定律

基于费马原理可以形成一个优化问题，用于确定光线在不同介质中传播时的路径。最终，这引出了斯涅尔定律，我们将在下文中看到其表述和证明。

假设光线从点 $A$ 出发，到达点 $B$，穿过一个将两个折射率分别为$n_1$和$n_2$的介质分开的界面。我们的目标是找到一个关系式，使我们能够根据费马最小传播时间原理计算光线的路径，为此，我们构建了以下图示：

推理从分析光线的传播时间形式开始。我们有：

$$
\begin{array}{rl}
传播时间 & =\frac{距离}{速度} \
& =\frac{介质1中的距离}{介质1中的速度} + \frac{介质2中的距离}{介质2中的速度}\
& =\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}
\end{array}
$$

这样做之后，保持点 $A$ 和 $B$ 固定，传播时间由光线接触介质之间界面的点$x$确定。由此，我们可以定义时间函数$t(x)$为

$$
t(x) = \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}
$$

现在，既然费马原理规定光线遵循使传播时间最短的路径，我们就可以从中找到使函数$t(x)$最小化的$x$.这实际上是一个优化问题。

对$t$关于$x$求导，我们得到：

$$
\begin{array}{rl}
\dfrac{dt}{dx} & = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\
& = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \
& = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}
\end{array}
$$

现在注意：

$$
\begin{array}{rl}
\sin(\theta_1) &=\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\
\sin(\theta_2) &= \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \
c_1 &= \frac{c}{n_1} \
c_2 &= \frac{c}{n_2}
\end{array}
$$

因此，将这些替换到时间导数中，我们有：

$$
\frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)
$$

最后，如果点$x$使函数$t(x)$最小化，那么导数必须为零，我们得到：

$$
\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}
$$

这就是光线在穿过两种介质时的斯涅尔折射定律，显示了入射角$\theta_1$与折射角$\theta_2$之间的关系。

光的折射、反射和全反射

我们已经看到，当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射，但通常会发生折射和反射的组合；而且根据折射率和光线的入射角，折射可能消失，只剩下反射。

假设一束光线从折射率为$n_a$的材料$a$入射到折射率为$n_b$的材料$b$中。如果$n_a > n_b$,根据斯涅尔定律，我们有：

$$
\sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)
$$

由于$n_a/n_b > 1$,结果是$\sin(\theta_b) > \sin(\theta_a)$,这意味着折射光线远离法线方向偏转。这意味着必然存在某个$\theta_a< 90^o$，使得$\sin(\theta_b)=1$，因此，$\theta_b=90^o$,如下图所示。

使光线沿界面折射的入射角称为临界角，并满足以下关系：

$$
\sin(\theta_{临界}) = \frac{n_b}{n_a}
$$

这相当于说：

$$
\theta_{临界} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)
$$

如果$\theta_a > \theta_{临界}$,那么就会发生全反射。

练习：

1. 考虑一束光线从水中穿过玻璃，如下图所示：

水的折射率为$n_1 = 1.33$,而玻璃的折射率为$n_2=1.52$.如果一束光线从水中穿过玻璃，以相对于法线$\theta_1 = 60^o$的倾斜角度入射到分隔两种介质的界面，折射光线以$\theta_2$什么角度射出？

使用斯涅尔定律，我们有：

$$
\begin{align*}
n_1 \sin(\theta_1) &= n_2 \sin(\theta_2) & \text{(斯涅尔定律)} \
\sin(\theta_2) &= \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1) \
\theta_2 &= \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
\end{align*}
$$

代入具体数值：

$$
\begin{align*}
n_1 &= 1.33 & \text{(水的折射率)} \
n_2 &= 1.52 & \text{(玻璃的折射率)} \
\theta_1 &= 60^o & \text{(光线在界面上的入射角)} \
\theta_2 &= \arcsin\left(\frac{1.33}{1.52}\sin(60^o)\right) \approx 49.268^o & \text{(折射角)}
\end{align*}
$$

2. 三个由两个界面分隔的液体具有以下折射率：$n_1=1.33,n_2=1.41$和$n_3=1.68$,并按如下图所示排列：

如果光线从折射率为$n_1$的介质进入折射率为$n_2$的介质，以$\theta_1=70^o$的角度入射到界面，折射角进入折射率为$n_3$的介质时会是多少？

类似于前面的练习，推理如下：

$$
\begin{align*}
n_1 \sin(\theta_1) &= n_2 \sin(\theta_2) & \text{(斯涅尔定律适用于从 $n_1$ 到 $n_2$ 的过渡)} \
n_2 \sin(\theta_2) &= n_3 \sin(\theta_3) & \text{(斯涅尔定律适用于从 $n_2$ 到 $n_3$ 的过渡)} \
n_1 \sin(\theta_1) &= n_3 \sin(\theta_3) & \text{(从 (1,2) 得出)} \
\sin(\theta_3) &= \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1) \
\theta_3 &= \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)
\end{align*}
$$

最后，替换数据得出：

$$
\theta_3= \arcsin\left(\frac{1.33}{1.68}\sin(70^o)\right) \approx 48.0667^o
$$

请注意，这种推理表明我们可以只考虑光线的入射和出射介质进行计算，而完全忽略中间介质。

3. 从游泳池底部发射一束光线朝向空气和水的界面。确定全反射发生的入射角。

临界角由下式给出：

$$
\theta_{临界}= \arcsin\left(\frac{1.00}{1.33}\right) \approx 48.7535^o
$$