定积分在立体体积计算中的应用：通过平行截面面积函数求体积

定积分在立体体积计算中的应用：通过平行截面面积函数求体积

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/u013250861/article/details/135885902

在数学分析中，定积分的应用之一是计算立体的体积。本文将介绍如何通过平行截面面积函数来计算立体体积的一般公式，并进一步讨论旋转体体积的计算方法。

设Ω为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两平面x = a与x = b之间（a < b）。为方便起见，称Ω为位于[a, b]上的立体。

若在任意一点x ∈ [a, b]处作垂直于x轴的平面，它截得Ω的截面面积显然是x的函数，记为A(x), x ∈ [a, b]，并称之为Ω的截面面积函数（见图 10-9）。

本节将导出由截面面积函数求立体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式。

设截面面积函数A(x)是[a, b]上的一个连续函数，并把Ω的上述平行截面投影到某一垂直于x轴的平面上，它们永远是一个含在另一个的里面。对[a, b]作分割

T : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.

一般还可推广到Ω由满足这种假设的若干个立体相加或相减而得的情形。例如后面将要讨论的旋转体就是满足该条件的重要特例。

过各个分点作垂直于x轴的平面x = x_i, i = 1, 2, \cdots, n，它们把Ω切分为n个薄片Ω_i, i = 1, 2, \cdots, n。任取ξ_i ∈ [x_{i-1}, x_i]，那么每一薄片的体积（见图10-10）：

ΔV_i ≈ A(ξ_i) Δx_i.

于是

V ≈ \sum_{i=1}^{n} A(ξ_i) Δx_i

由定积分的定义和连续函数的可积性，当∥T∥ → 0时，上式右边的极限存在，即为函数A(x)在[a, b]上的定积分。于是定义立体Ω的体积为

V = \int_{a}^{b} A(x) dx. \quad\quad(1)