初中数学：平面直角坐标系中四边形面积求法

初中数学：平面直角坐标系中四边形面积求法

在平面直角坐标系中求四边形的面积，是初中数学中的一个重要知识点。本文将通过三个具体例子，详细介绍当四边形有一边、两边或每条边都不平行于坐标轴时的解题方法。

一、求四边形的面积

1. 四边形有一边平行于坐标轴（或在坐标轴上）

例1：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1）、B（5，1）、C（7，3）、D（2，5），求四边形ABCD的面积。

【分析】根据题意可以看出A、B两点纵坐标相同，所以AB//x轴，则可以过D点作AB的垂线DE，再过C点作DE的垂线CF，在过B点作CF的垂线BG，则将四边形割成了三个三角形和一个长方形。

解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥DE于点F，过点B作BG⊥FC于点G，

∴S四边形ABCD=S△AED+S△DFC+S△BCG+S矩形DBGF
=×2×4+×2×5+×2×2+2×3
=4+5+2+6
=17

本题可以不作BG⊥CF，把四边形EFCB看成梯形计算也可以，则：

S四边形ABCD=S△AED+S△DFC+S梯形EFCB
=×2×4+×2×5+×(5+3)×2
=4+5+8
=17

2. 四边形有两边平行坐标轴（或在坐标轴上）

例2：如图，已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(-2,-2)，B(2,-2)，C(2,2)，D(-3,4)，求四边形ABCD的面积。

【分析】因为A，B两点的纵坐标相同，所以AB//x轴，C、B两点横坐标相同，所以CB//y轴，那么连接BD，就将四边形分成了两个三角形，且这两个三角形的一边与坐标轴平行，求面积就很容易了。

解：如图，连接BD，

∴ S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD
=×4×6+×4×5
=12+10
=22

3. 四边形每条边都不平行坐标轴（或不在坐标轴上）

例3：如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是：A（1，2），B（3，-2），C（5，1），D（4，4），求四边形ABCD的面积。

【分析】对于这样的四边形，则过四个顶点分别作坐标轴的平行线，将四边形置于长方形或正方形之中求面积。

解：如图，过B、D作GF//x轴，HE//x轴，过A点作GH//y轴与GF，HE分别交于G、H，过C点作EF//y轴与GF、HE分别交于F、E，

∴ S四边形ABCD=S矩形HEFG-S△HBA--S△BEC--S△AGD--S△DFC
=4×6-×2×4-×2×3-×2×3-×1×3
=24-4-3-3-1.5
=12.5

二、练习

1. 如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0）、B（3，6）、C（10，8）、D（13，0），确定这个四边形的面积．

2. 如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点坐标分别是A(-3,-2)，B(3,-2)，C(2,2)，D(-5,2)，求四边形ABCD的面积。

3. 如图所示,已知四边形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-5,2),B(1,5),C(5,-2),D(-4,-5).求四边形ABCD的面积.

【答案】

1. 解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．

∴点E（3，0），点F（10，0），

∴S四边形ABCD=S△BAE+S梯形BEFC+S△CFD
=AE•BE+（BE+CF）•EF+CF•DF
=×3×6+×（6+8）×7+×8×3
=70．

2. 解：如图，连接BD，

∴ S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD
=×6×4+×7×4
=12+14
=26

3. 解：如图，分别过点B，D作FG//x轴，EH//x轴，
   过点A作EF//y轴与EH,FG分别交于点E，F，过点C作GH//y轴与FG，EH分别交于点G,H,

∴ S四边形ABCD=S正方形EFGH-S△AFB--S△BGC--S△CHD--S△DEA
=10×10-×3×6-×4×7-×3×9-×1×7
=60

总之，在平面直角坐标系中，求四边形的面积，对上面这三种情况运用的方法就是前面讲的“割补法”，“割补法”求三角形、四边形的面积是初中数学必需掌握的方法，且要灵活运用。