真正的牛顿第二定律是适用高速运动的物体的，有两种积分形式！

真正的牛顿第二定律是适用高速运动的物体的，有两种积分形式！

牛顿第二定律是物理学中最基本的定律之一，通常被表述为F=ma，即力等于质量与加速度的乘积。然而，这个表述并不完整，牛顿第二定律的准确表述应该涉及动量的变化率。本文将带你深入了解牛顿第二定律的微分形式和两种积分形式，揭示其更本质的物理意义。

微分形式

牛顿第二定律准确来说并不是F=ma。有一个有趣常被忽视的历史事实，牛顿对力学基本定律的描述并不是F=ma，并且该方程并没有出现在《自然哲学的数学原理》中，他的原文意思大概是这样的：“运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上”。

另外牛顿在定律中提出的“运动”一词，并不是我们泛泛而谈的运动，他有严格的定义：他把物体的质量和速度矢量之积定义为“运动”。现在的mv叫做物体的动量，用p表示，则p=mv。

牛顿所说的运动其实是指动量的变化率，因此牛顿第二定律的表达式实质上是

这是牛顿第二定律的微分形式，因为牛顿第二定律描述的是力与运动的瞬时关系，因此微分形式更具有普遍性！

但由于在低速的情况下物体的质量m是不变的，可以看做是常量，因此有

虽然F=ma不能用在高速运动的物体上，但是经过实验的验证牛顿第二定律的微分形式是适用高速运动的物体的！

牛顿第二定律的微分形式描述的是力与运动的瞬时关系，那么它在时间和空间上力与运动的过程关系是怎样的？

牛顿第二定律的积分形式之一——动量定律

为了方便描述这样的过程关系，我们就有这样一个定义：力的冲量I=Ft。我们先来看看在时间上的过程关系！直接用牛顿第二定律的微分形式

从t1到t2积分有

这段时间的冲量用I表示

最后联立可以得到

因此我们得到了牛顿第二定律的一种微分形式，它表明物体在运动过程中所受合外力的冲量等于该物体动量的变化量，叫做动量定理！

牛顿第二定律的积分形式之二——动能定理

前面我们说了力与运动在时间过程的的关系，现在来说说在空间过程中的关系！一样为了方便描述，前面是定义Ft为一个新的物理量。可想而知，这次定义F·s为另一个物理量——功。

初三就知道，恒力并且运动方向与力的方向相同是，我们可以把公式写成功W=Fs，但是遇到了变力曲线运动怎么办？有些小伙伴可能已经想到用极限的方法，确实没错！因此，在这里我们就把公式写成微分的形式，这样更具有普遍意义！

现在用来举个例子，有一个物体在变力F的作用下，沿曲线从a运动到b，并且我们用Va表示起点a速度，，Vb表示终点b的速

那么变力F做功为

根据牛顿第二定律有

又因为

动能大小的表达式为

因此最后得到

因此它是牛顿第二定律的另一种积分形式，叫做动能定理。同时它也表示合外力对物体所做功等于动能的变化量！

结论

看到这里我们可以更加系统、正确的了解牛顿第二。从它的微分形式到两种积分形式；从微分形式描述的是力与运动的瞬时关系，而积分形式描述的是力与运动的过程关系（分别在时间上和在空间）。时间上的过程对应着动量定理，空间上的过程对应着动能定理！