向量在法向量所垂直的平面上的投影

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@小白创作中心

向量在法向量所垂直的平面上的投影

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CSDN

https://blog.csdn.net/qq_36158230/article/details/119812125

向量在平面上的投影问题在数学和物理学中十分常见。本文将详细讲解向量在法向量所垂直的平面上的投影计算方法，这虽然是高中阶段的初等几何内容，但对许多领域的从业者来说仍具有重要的参考价值。

一、向量投影的基本概念

首先，我们需要理解向量在另一向量上的投影。设向量$\mathbf{a}$在非零向量$\mathbf{b}$上的投影为$\text{proj}{\mathbf{b}}\mathbf{a}$，则有
$$
\text{proj}{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b}
$$
其中“$\cdot$”表示点积，即向量对应元素的乘积然后相加。

二、向量在法向量所垂直的平面上的投影

有了上面的基础，我们就可以推导出向量在法向量所垂直的平面上的投影向量。假设平面$\Pi$的法向量为$\mathbf{n}$，向量$\mathbf{v}$在平面$\Pi$上的投影为$\mathbf{v}{\Pi}$，向量$\mathbf{v}$在法向量$\mathbf{n}$上的投影为$\text{proj}{\mathbf{n}}\mathbf{v}$，那么根据向量加法有
$$
\mathbf{v} = \mathbf{v}{\Pi} + \text{proj}{\mathbf{n}}\mathbf{v}
$$
它们之间的关系如下图所示：

因此，向量$\mathbf{v}$在法向量$\mathbf{n}$所垂直的平面$\Pi$上的投影向量为
$$
\mathbf{v}{\Pi} = \mathbf{v} - \text{proj}{\mathbf{n}}\mathbf{v} = \mathbf{v} - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n}
$$
如果法向量$\mathbf{n}$为单位向量，即$\mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1$，则上式可以进一步简化为
$$
\mathbf{v}_{\Pi} = \mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}
$$