微积分入门：切线和速度问题详解

微积分入门：切线和速度问题详解

微积分的核心就在于“极限”这个概念，通过极限我们可以解决许多关于变化率与瞬间变化的问题。两个典型的问题分别是切线问题与速度问题，下面分别来说明这两个问题及其背后的原理。

切线问题

切线的概念

• 直观定义：在一条曲线上，切线是一条仅在某一点与曲线接触，且在该点与曲线有相同方向的直线。
  
• 在曲线的定义不精确：对于简单的圆，我们可以说明切线仅与圆相交一次，但对于一般曲线，这样的定义就不够精确，因为曲线可能有多处交点。
  

所以我们会用以下方法来定出切线：

利用割线逼近切线

由于我们只有一个接触点 P，无法直接求得直线的斜率，解法是：

• 选取另一点 Q：在曲线上任取一点 Q（离 P 不远）。
• 计算割线斜率：割线是连接 P 与 Q 的直线，其斜率 $m_{PQ}$ 可用来近似切线的斜率。
• 让 Q 趋近 P：当我们令 Q 逐渐靠近 P 时，割线的斜率会渐渐稳定下来，这个极限值就是切线的斜率。

举例说明

以抛物线 $y=x^2$ 为例，求点 $P(1,1)$ 处的切线：

• 任取点 $Q(x,x^2)$ （其中 x 接近 1），则割线斜率为 $$m_{PQ} = \dfrac{x^2-1}{x-1}$$
• 注意到 $x^2−1$ 可以因式分解为 $(x−1)(x+1)$ ，故 $$m_{PQ} = \dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$$
• 当 $x$ 趋近 $1$ ， $x+1$ 趋近 $2$ ，因此我们得到切线斜率为 $2$ 。
• 利用点斜式 $y−y_1 =m(x−x_1 )$ ，代入 $ P(1, 1) $ 与斜率 $2$ ，可得到切线方程式： $$y-1 = 2(x-1) \ \mbox{或}\ y=2x-1 $$

这个过程说明了如何通过极限（即让 $Q$ 无限靠近 $P$ ）来定义和求取切线的斜率，这正是导数的基本想法。

速度问题

瞬时速度的意义

在日常生活中，车速表显示的是一瞬间的速度，即物体在某一瞬时的运动速率。但如果只知道物体在不同时间的位置，我们如何得到“瞬时速度”呢？

由平均速度到瞬时速度

• 平均速度：在某段时间内，物体位置变化除以所花的时间。例如，若物体在 $t$ 秒时的位置为 $s(t)$，在 $t+h$ 秒时的位置为 $s(t+h)$ ，那么平均速度为 $$\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$$
• 瞬时速度：当我们令时间间隔 $h$ 趋近于 $0$ ，平均速度的极限值就定义为该时刻的瞬时速度，也就是 $$\mbox{瞬时速度}=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$$

举例说明

假设一自由落体的位移函数为 $s(t)=4.9t^2$（忽略空气阻力），我们要计算 $t=5$ 秒时的瞬时速度：

• 计算从 $t=5$ 到 $t=5+h$ 的平均速度： $$\dfrac{4.9(5+h)^2−4.9(5)^2}{h}$$
• 当 $h$ 趋近 $0$ ，这个表达式的极限值会趋向 $49$ （单位：公尺/秒），因此物体在第 $5$ 秒时的瞬时速度为 $49$ m/s

这与切线问题非常相似：在位置－时间图中，平均速度即为连接两点 $(5,s(5))$ 和 $(5+h,s(5+h))$ 的割线斜率，而瞬时速度则是当 $h$ 趋近于 $0$ ，割线斜率的极限值，即该点处曲线的切线斜率。

总结

1. 极限的核心地位：
   通过极限，我们可以从一个割线的斜率逐渐逼近切线斜率，进而定义函数在某一点的变化率（即导数）。

2. 切线问题：
   由于切线仅与曲线在一点接触，我们无法直接求斜率，但可以借助取另一点、计算割线斜率，并让这两点越来越接近，从而求得切线斜率。

3. 速度问题：
   物理上的瞬时速度就是在极短时间内平均速度的极限值，而这正等价于位置－时间图中曲线在该点的切线斜率。

这两个问题展示了微积分如何利用极限思想来解决实际问题，也是学习导数和后续微积分应用的重要基础。