线性代数中的几何——直观理解线性代数本质
线性代数中的几何——直观理解线性代数本质
本文是作者在学习3Blue1Brown课程后，结合个人理解所写，旨在帮助读者直观理解线性代数的本质。文章引用了部分课程图片，以更直观地展示相关概念。本文将从向量、线性组合、基、矩阵以及线性变换等方面进行讲解。
向量是什么
从物理与数学的角度来看，向量是一个有方向的线段。但在数学中，向量的起点通常位于坐标系原点。以二维平面为例，向量的两个坐标分别代表沿着对应坐标轴移动的距离。接下来的内容，除非特别说明，都将从几何视角进行解释。
在线性代数中，有两个重要的运算：向量加法和向量数乘。先来看加法，计算向量A + B时，通常会平移向量B，使其起点与A向量的终点重合，连接A的起点与B的终点，就得到了两个向量的和。如果我们把向量理解为在空间中沿着某个方向移动一定的距离，那么向量的加法就是先沿着其中一个向量的方向移动，再沿着另一个向量的方向移动的过程。
接下来是数乘，一个数字乘以一个向量，其中数字往往可以理解为对向量的缩放，也被称为标量。
线性组合、张成的空间与基
以二维平面为例，平面中有两个特殊的向量，它们分别从原点出发，沿着两个坐标轴的正方向，并且长度为1，这就是坐标系的基（当然，我们可以选择不同的基，除非特别说明，之后的基向量都指这两个向量）。
这里给出对向量的一个全新理解：可以把向量的两个坐标视为标量，它们分别将两个轴的单位向量进行缩放。从这个角度看，这个向量就是两个经过缩放的向量的和。
每当用数字描述向量时，它都依赖于我们选择的基。两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合。可以注意到，平面内的两个基向量可以表示平面内的任意一个向量。能够用两个向量表示的向量的集合称为向量张成的空间。反过来，两个向量张成的空间就是仅通过向量的数乘与加和能表示的所有向量。
并非平面中任意两个向量都能构成一组基。如果两个向量共线，那么它们能表示的向量只有平面内的一条直线；如果两个向量都是零向量，那么它们能表示的向量只有零向量。
矩阵与线性变换
这部分可以说是线性代数最重要的部分，它贯穿了整个线性代数，也是在几何视角中最有意思的一部分。
这里先给出“线性”的直观定义：变换前等距的点在变换后依然等距。
线性变换的本质就是函数，它接收一个向量并输出一个变换后的向量。下图是一张二维平面上的网格，根据上面提到的“线性”的直观定义，经过线性变换后，它们会依然保持平行且等距分布。
如果想要研究变换过程，是否需要考虑平面内所有网格变换后的坐标？其实并不需要。我们前面提到了，每当用数字描述向量时，它都依赖于我们选择的基向量。假设一个向量A是基向量v和w的线性组合，那么变换后的向量A'依然是基向量v'和w'同样的线性组合。于是，我们只需要考虑基向量线性变换后的坐标，即可通过线性组合得到平面内任意向量的位置。
也就是说，向量只与选择的两个基向量有关。将两个变换后的二维基向量排成两列，构成一个2x2的矩阵。将矩阵乘在一个向量A左边，即可得到变换后的向量A'。因此，如果矩阵与向量相乘，我们可以把矩阵的列看成线性变换后的基向量，把矩阵向量乘法看作它们的线性组合。（这样我们就得到了熟知的矩阵向量乘法公式）
举个例子：如果要使向量顺时针旋转90°，很容易得到旋转后的基向量i'= [ 0 , -1 ]T , j'= [ 0 , 1 ]T ，再将两个向量组成2x2的矩阵，就得到了使任意二维向量顺时针旋转的线性变换。
综上，每当看到一个矩阵时，都可以把它解读成一种特定的线性变换。
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