有界变差函数：定义、性质及其与单调函数的关系
有界变差函数：定义、性质及其与单调函数的关系
有界变差函数是数学分析中的一个重要概念，它与单调函数有着密切的联系。本文将从定义、性质以及与其他函数的关系等方面，全面介绍有界变差函数的相关知识。
引言
在探讨单调函数的世界里，我们了解到它们的导数虽然具备可积性，但无法直接通过牛顿-莱布尼茨公式复原其原始形态。那么，什么样的函数才能真正符合这个公式的要求（仅限于Lebesgue积分的范畴）？这就引出了有界变差函数的概念，它巧妙地将这一特性与单调函数联系起来，揭示了它们之间的微妙联系。
定义与性质
如果一个函数 f 在区间 I 上是有限的，并且对于所有可能的划分 P ，其变差值形成一个有界的集合，我们称 f 为 I 上的有界变差函数。其全变差记为 V[f;I] ，简单来说，就是所有分段差的上确界。
变差： V[f;x,y] = sup_{P} \sum_{i=1}^{n-1} |f(x_i) - f(x_{i+1})|
全变差： V[f;I] = sup_{x,y \in I} V[f;x,y]
示例
(1) 如果 f 满足Lipschitz条件，即存在常数 c > 0 ，对于任意 x, y ，有 |f(x) - f(y)| ≤ c|x - y| ，那么 f 必定是有界变差函数。
(2) 闭区间上的每一个单调函数，无论增减，都是有界变差函数，并且其全变差等于零， V[f;[a,b]] = 0 。
有界变差函数的特性
(1) 有界变差函数在闭区间上一定是有界的，这可以通过上确界原理得到证明，例如：取任意 M ，有 V[f;[a,b]] ≤ M ，则对任意 x ∈ [a,b] ， |f(x)| ≤ M + |f(a)| + |f(b)| 。
(2) 如果 f 和 g 都是闭区间上的有界变差函数，那么它们的线性组合，如 c·f + d·g （其中 c 和 d 为常数），同样是有界变差函数，并且变差会按线性方式增长。
(3) 有界变差函数在区间上具有有限的导数，其黎曼积分在<a, b区间内成立，且 \int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a) 。
与单调函数的联系与区别
尽管闭区间上的单调函数是有界变差函数的典型例子，但并非所有有界变差函数都是单调的。有界变差函数的导数虽然可积，但牛顿-莱布尼茨公式并不总是适用，这要求我们对函数的特性有更深入的了解。
单调函数的特性包括：所有不连续点都是第一类间断点，不连续点集至多是可数的，而且在<a, b上是黎曼可积的。Lebesgue定理指出，单调函数在<a, b上几乎处处可微，积分在区间<a, b上成立，且递增函数的积分表达式特别简洁。
与连续函数的关系
有界变差函数并不必然意味着连续性，反之亦然。例如，闭区间上的单调函数，尽管具有第一类间断点，但这并不排除它们是有界变差函数。而连续函数并不一定具备有界变差函数的特性，因为连续性并不直接与变差的有界性关联。
总结来说，有界变差函数不仅是一种特殊的可积函数，它与单调函数之间的联系和区别，为我们理解函数的性质提供了宝贵的洞察。尽管它们在某些方面相似，但对有界变差函数的要求更严格，以确保牛顿-莱布尼茨公式得以适用。