离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差是衡量随机变量偏离其期望值程度的重要统计量。本文将详细介绍方差的概念、计算方法及其在实际问题中的应用。

离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平或集中趋势。但只了解期望是不够的。有时，我们还希望用一个特征数值来反映随机变量偏离期望值的程度，也就是考察随机变量的离散程度。

我们来看一个例子。

问题 甲，乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 ${X}_{1},{X}_{2}$ 的分布列分别为

容易验证 $E\left({X}_{1}\right)=E\left({X}_{2}\right)=8$ 。从期望（均值）的角度看，分不出甲，乙两名射手的射击水平，不知道谁更优秀，但进一步观察分布列，可以发现甲有 $42\mathrm{%}$ 的成绩在 8环，而乙仅有 $12\mathrm{%}$ 的成绩在 8 环，这说明甲成绩偏离均值小，乙成绩偏离均值大．

如何来刻画一个离散型随机变量与其期望的偏离程度呢？

很自然地想到，$|X-E\left(X\right)|$ 表示随机变量 $X$ 与其期望 $E\left(X\right)$ 偏离的大小，可以用 $E\left\{|X-E\left(X\right)|\right\}$ 表示平均偏离的大小．但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便，人们便用 $E\left\{\left[X-E\left(X\right){\right]}^{2}\right\}$ 或 $\sqrt{E\left\{\left[X-E\left(X\right){\right]}^{2}\right\}}$ 来刻画 $X$ 与它的期望 $E\left(X\right)$ 的偏离程度。

设离散型随机变量 $X$ 的分布列为

由数学期望的公式可知

$\begin{array}{rl}D\left(X\right)& =E\left\{\left[X-E\left(X\right){\right]}^{2}\right\}\\ & ={\left({x}_{1}-E\left(X\right)\right)}^{2}{p}_{1}+{\left({x}_{2}-E\left(X\right)\right)}^{2}{p}_{2}+\cdots +{\left({x}_{n}-E\left(X\right)\right)}^{2}{p}_{n}\end{array}$

则称 $D\left(X\right)$ 为随机变量 $X$ 的方差，并称 $\sqrt{D\left(X\right)}$ 为 $X$ 的标准差．通常还用 ${\sigma }^{2}$ 表示方差 $D\left(X\right)$ ，用 $\sigma$ 表示标准差 $\sqrt{D\left(X\right)}$ 。

我们现在来计算上面问题中甲，乙两名射手射击成绩的方差：

$\begin{array}{rl}D\left({X}_{1}\right)=& \left(6-8{\right)}^{2}×0.16+\left(7-8{\right)}^{2}×0.14+\left(8-8{\right)}^{2}×0.42+\\ & \left(9-8{\right)}^{2}×0.1+\left(10-8{\right)}^{2}×0.18\\ =& 1.6.\\ D\left({X}_{2}\right)=& \left(6-8{\right)}^{2}×0.19+\left(7-8{\right)}^{2}×0.24+\left(8-8{\right)}^{2}×0.12+\\ & \left(9-8{\right)}^{2}×0.28+\left(10-8{\right)}^{2}×0.17\\ =& 1.96.\end{array}$

由此可知，射手甲的射击成绩稳定性较好，稳定在 8 环左右，而射手乙的射击成绩稳定性略差。

方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散。

随机变量的方差是常数，而样本的方差依赖于样本的选取，带有随机性，即样本方差是随机变量。在大多数情况下，样本方差会接近于总体方差，因此，我们常用样本方差估计总体的方差．

例1 若随机变量X的概率分布如下表所示，求方差 D(X) 和标准差

解 因为

所以

$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =0×\left(1-p\right)+1×p=p\\ D\left(X\right)& =\left(0-p{\right)}^{2}\left(1-p\right)+\left(1-p{\right)}^{2}p\\ & =p\left(1-p\right)\\ \sqrt{D\left(X\right)}& =\sqrt{p\left(1-p\right)}\end{array}$

于是，对于离散型随机变量 $X$ ，

若 $X\sim B\left(1,p\right)$ ，则 $D\left(X\right)=p\left(1-p\right)$ ．

根据方差的定义和数学期望的性质，对于离散型随机变量 $X$ ，我们还可以得到以下计算公式：

$\begin{array}{rl}D\left(X\right)& =E\left\{\left[X-E\left(X\right){\right]}^{2}\right\}\\ & =E\left\{{X}^{2}-2XE\left(X\right)+\left[E\left(X\right){\right]}^{2}\right\}\\ & =E\left({X}^{2}\right)-2E\left(X\right)E\left(X\right)+\left[E\left(X\right){\right]}^{2}\\ & =E\left({X}^{2}\right)-\left[E\left(X\right){\right]}^{2}.\end{array}$

（1）若 $X\sim B\left(n,p\right)$ ，则 $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ ；

（2）若 $Y=aX+b,a,b$ 为常数，则 $D\left(Y\right)={a}^{2}D\left(X\right)$ ．

例2 某厂一批产品的正品率是 $98\mathrm{%}$ ，检验单位从中有放回地随机抽取 10件，计算：

（1）抽出的 10 件产品中平均有多少件正品；

（2）抽出的 10 件产品中正品数的方差和标准差．

解 因为正品率是 $98\mathrm{%}$ ，

所以任取一件产品时，得到正品的概率为 0.98 ．

用 $X$ 表示抽得的正品数，由于是有放回的随机抽样，

所以 $X$ 服从二项分布 $B\left(10,0.98\right)$ 。

（1）$E\left(X\right)=10×0.98=9.8$ ，

因此抽出的 10 件产品中平均有 9.8 件正品．

（2）$D\left(X\right)=10×0.98×\left(1-0.98\right)=0.196$ ，

标准差 $\sigma =\sqrt{D\left(X\right)}\approx 0.44$ ．

例3 某人欲投资 10 万元，有两种方案可供选择。设 $X$ 表示方案一所得收益 （单位：万元），$Y$ 表示方案二所得收益（单位：万元）．其分布列分别为

由于同期银行利率为 $1.75\mathrm{%}$ ，所以若将 10 万元存入银行，可得利息（无风险收益） $10×1.75\mathrm{%}=0.175$（万元）。从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都要冒一定的风险。方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险也小于方案二。所以，如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行；如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二．