可测函数基本概念与性质
可测函数基本概念与性质
可测函数是实变函数论中的重要概念，它不仅包括所有的连续函数与Riemann可积函数，还对函数的四则运算和极限运算封闭。本文将详细介绍可测函数的基本概念、性质及其在数学中的重要性。
可测函数的基本概念
在讨论函数积分时，需要考虑形如
$$
\sum_{i=1}^{n} y_{i-1} \mathrm{mes} E_i
$$
的式子的极限，其中
$$
E_i = \left{ x \mid x \in [a, b], y_{i-1} \leq f(x) < y_i \right}
$$
这里的$\mathrm{mes} E_i$表示$E_i$的测度。因此，$E_i$的可测性成为对函数$f$的最低要求。由于$E_i$可以表示为
$$
E_i = \left{ x \mid x \in [a, b], f(x) \geq y_{i-1} \right} \cap \left{ x \mid x \in [a, b], f(x) \geq y_i \right}^c
$$
而任意点集与其余集的可测性相同，因此我们要求
$$
\left{ x \mid x \in [a, b], f(x) \geq y_i \right} \quad (i=0,1,2,\cdots,n)
$$
可测。推广到任意点集上的积分，对函数$f$的要求就成了：对任意实数$c$，函数$f$应使得点集
$$
\left{ x \mid x \in E, f(x) \geq c \right}
$$
可测，或等价地，点集
$$
\left{ x \mid x \in E, f(x) > c \right}
$$
可测，当然这也包括点集$E$本身应该可测。这样的函数$f$就称为可测函数。
可测函数的性质
为了讨论的方便与统一，在说到一个$\mathbb{R}^n$上的函数而不进一步说明时，它可以是一元的（定义于$\mathbb{R}$上），也可以是多元的（定义于$n>1$的$\mathbb{R}^n$上）。此外，为了使所研究的函数类对极限运算封闭，还假定函数都是取广义实数值的。就是说函数值除了可以取（有限）实数外，还可以等于$+\infty$或$-\infty$。这里$+\infty$和$-\infty$表示两个确定的（广义实）数，$+\infty$大于一切实数，$-\infty$小于一切实数，当然也有$-\infty < +\infty$。有关$+\infty$与$-\infty$的运算规定如下：
- 绝对值：$|+\infty| = |-\infty| = \infty = +\infty$；
- $±\infty$与实数$a$的运算：
$$
\begin{array}{c}
a + (\pm\infty) = (\pm\infty) + a = \pm\infty; \
a - (\pm\infty) = (\mp\infty) + a = \mp\infty; \
(\pm\infty) \cdot a = a \cdot (\pm\infty) = \begin{cases}
0, & a = 0 \
\pm\infty, & a > 0, \
\mp\infty, & a < 0;
\end{cases} \
a / \pm\infty = 0; \
\pm\infty / a = \pm\infty \left(\frac{1}{a}\right) \quad (a \neq 0);
\end{array}
$$ - $+\infty$与$-\infty$之间的运算：
$$
\begin{array}{rl}
(+\infty) + (+\infty) & = (+\infty) - (-\infty) = (+\infty) \cdot (+\infty) \
& = (-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty; \
(-\infty) + (-\infty) & = (-\infty) - (+\infty) = (+\infty) \cdot (-\infty) \
& = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty
\end{array}
$$
注意，$(\pm\infty) + (\mp\infty)$，$(\pm\infty) - (\pm\infty)$，$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$，$\frac{\pm\infty}{\mp\infty}$都没有意义，就像在实数的运算中，0不能做除数一样。
定义3.1
设$E \subset \mathbb{R}^n$可测，$f$是定义于$E$上的广义实值函数。若对于任意实数$a$，点集
$$
\left{ x \mid x \in E, f(x) > a \right}
$$
是$\mathbb{R}^n$内的可测集，则$f$称为$E$上的Lebesgue可测函数，简称$f$是$E$上的可测函数，或$f$在$E$上可测。
一点解释
我们不妨假定一个函数总是非负的，为啥？因为一个函数总可以写成$f=f^+ - f^-$。其中前者的定义域是$\left{x:f(x) \ge 0\right}$，后者同理。我们总希望在一个区间里面函数总要尽可能好，啥是好呢，比如这样，假设我们是个太阳，我们能看到的是什么呢？
从东面看，每个极大值都能对应一个区间的右端点，在这个区间里面的函数值都小于极大值，除了左右端点，而且上去之后不许下来。Lebesgue微分定理就是这种思想。
注意，若函数$f$在$E$上可测，则$f$的定义域$E$必须是可测集。
定理3.1
设$f$是可测集$E$上的广义实值函数，则下列命题等价：
（i）$f$在$E$上可测；
（ii）对任意实数$a$，点集$E(f \geq a)$可测；
（iii）对任意实数$a$，点集$E(f < a)$可测；
（iv）对任意实数$a$，点集$E(f \leq a)$可测；
证明 下面简要写出按（i）$\to$（ii）$\to$（iii）$\to$（iv）$\to$（i）的次序证明的关键步骤，利用它再注意可测集的可数并与差集仍可测，便可完成证明：
因为$E(f \geq a) = \bigcap_{k=1}^{\infty} E(f > a - 1/k)$，所以由（i）得（ii）；
因为$E(f < a) = E \setminus E(f \geq a)$，所以由（ii）得（iii）；
因为$E(f \leq a) = \bigcap_{k=1}^{\infty} E(f < a + 1/k)$，所以由（iii）得（iv）；
因为$E(f > a) = E \setminus E(f \leq a)$；所以由（iv）得（i）。
例1
任意集$E \subset \mathbb{R}^n$的特征函数$\chi_E(x)$在$\mathbb{R}^n$可测的充分必要条件是，点集$E$可测。
证明 由于$E$的特征函数的定义是$\chi_E(x) = 1(x \in E)$，$\chi_E(x) = 0(x \in E^c$，知
$$
\left{ x \mid x \in E, \chi_E(x) > a \right} = \begin{cases}
\mathbb{R}^n, & a < 0 \
E, & 0 \leq a < 1 \
\varnothing, & a \geq 1
\end{cases}
$$
由此可见，$\chi_E(x)$在$\mathbb{R}^n$可测的充分必要条件是，点集$E$可测。
这样，可测集的特征函数都可测了。
例2
零测集$E$上的任意广义实值函数可测。
证明 因为这时$E(f > a)$是零测集的子集，总是可测的。
再复杂一点的可测函数就是下述定义所指的简单函数。
定义3.2
若函数$\phi$定义在$E \subset \mathbb{R}^n$上，只取有限个不同的值$a_1, a_2, \cdots, a_k$，并且对每一个$i$，取值$a_i$的点集$E_i(= \left{ x \in E \mid \phi(x) = a_i \right})$都是可测集，则称$\phi$为$E$上的简单函数（这时$E$一定可测）。当每个$E_i$是矩体时，称$\phi$为阶梯函数。
按照这个定义，很明显简单函数$\phi$都可表示成如下的可测集的特征函数的线性组合：
$$
\phi(x) = \sum_{i=1}^{k} a_i \chi_{E_i}(x), \quad (a_i \in \mathbb{R} \text{, 且} i \neq j \text{时} a_i \neq a_j)
$$
其中各个$E_i$可测，且当$i \neq j$时，$E_i \cap E_j = \varnothing, (i,j=1,2,\cdots,k), \bigcup_{i=1}^{k} E_i = E$。反过来，凡是能表示成上式的函数$\phi$都是$E$上的简单函数，且只取值$a_1, a_2, \cdots, a_k$，而$E_i = E(f = a_i)$，如果再补充规定$a_1 < a_2 < \cdots < a_k$，则简单函数$\phi$可唯一地表示成$()$式，这时$()$式就称为简单函数$\phi$的标准表示式。
例3
简单函数在任意可测集$E$上都是可测函数。
这是因为，对于如（*）式的函数$\phi$与任意实数$a$有
$$
\begin{array}{rl}
E(\phi > a) & = E(\text{当} a < a_1), \
E(\phi > a) = \bigcup_{j>i+1}^{k} E_j (\text{当} a_i & \leq a < a_{i+1}, i=1,2,\cdots,k-1) \
\text{或} E(\phi > a) & = \varnothing (\text{当} a \geq a_k),
\end{array}
$$
所以总是可测集。
下面讨论可测函数的四则运算与极限性质。
定理3.2
若$f,g$是点集$E$上的可测函数，则$cf(x)(c$为常数)，$f(x)+g(x),f(x) \cdot g(x),f(x)/g(x)$（假定在$E$上每一点，这些运算都有意义）都是$E$上的可测函数。
证明 由于$c=0$时$cf \equiv 0$及
$$
E(cf > a) = \begin{cases}
E(f > a/c), & c>0, \
E(f < a/c), & c<0,
\end{cases}
$$
可见$cf$可测。
由于
$$
\begin{array}{rl}
& \left{ x \in E \mid f(x) + g(x) > a \right} = \left{ x \in E \mid f(x) > a - g(x) \right} \
= & \bigcup_{k=1}^{\infty} \left{ x \in E \mid f(x) > r_k \right} \cap \left{ x \in E \mid r_k > a - g(x) \right} \
= & \bigcup_{k=1}^{\infty} \left{ x \in E \mid f(x) > r_k \right} \cap \left{ x \in E \mid g(x) > a - r_k \right}
\end{array}
$$
其中$\left{ r_k \right}$为全体有理数的一个排序（关于第二个等式的正确性，参见第一章习题第13题），可见$f+g$可测。
关于$fg$的可测性，先证$f=g$的特殊情形。由于
$$
E(f^2 > a) = \begin{cases}
E, & a < 0 \
E(f > \sqrt{a}) \cup E(f < -\sqrt{a}), & a \geq 0
\end{cases}
$$
可见$f$可测时，$f^2$也可测。一般情形由于$fg = \frac{1}{4} \left[ (f+g)^2 - (f-g)^2 \right]$，而由已证结果可知，$f+g,f-g(=f+(-1)g)$及它们的平方差的常数倍可测，从而$fg$可测。
关于$f/g$的可测性，先证$1/g$可测。而因为
$$
E(1/g > a) = \begin{cases}
E(g < 1/a), & a > 0 \
E(g > 0) \cup E(1/a < g < 0), & a < 0 \
E(g > 0), & a = 0
\end{cases}
$$
由$g$可测知$1/g$可测。一般情形由$fg = f(1/g)$即可完成证明。
可测函数的直观理解
可测函数可以通俗理解为“行为规矩”的函数，其图像不会出现突然的跳跃或无限大的“异常值”，这使得数学上对它的积分运算（如勒贝格积分）变得可行。以下是具体解释：
1. 核心定义
可测函数的定义与测度相关：若对于任意实数$c$，函数$f(x)$的“超过$c$的部分”对应的集合${ x \mid f(x) > c }$都是可测的（比如区间、三角形等规则形状），则称$f(x)$为可测函数。简单来说，可测函数的图像不会“凭空出现”或“突然消失”，其变化是“连续且可预测”的。
2. 为什么需要可测函数？
- 积分的基础：只有可测函数才能进行勒贝格积分（一种更强大的积分理论），类似于Riemann积分需要函数连续或分段连续。
- 实际意义：在物理、工程、金融等领域，许多量（如温度、股票价格）的变化规律可视为可测函数，因为它们遵循一定的规律，不会出现“不可测的突变”。
3. 与普通函数的对比
- 普通函数：可能包含不可测的“奇异点”（如狄利克雷函数在无理数点取1、有理数点取0）。
- 可测函数：通过简单函数（如阶梯函数）逐步逼近，确保其变化是“分块可控”的。
4. 生活中的类比
想象用乐高积木搭建房屋：
- 可测函数：每块积木的形状和位置都符合规则（可测），整体结构稳固。
- 不可测函数：若某块积木突然出现在空中（不可测），则房屋无法搭建。
总结
可测函数是数学中处理“规则变化”的工具，其核心在于确保函数的变化过程可被测度（即可被量化）。这使得它在积分、概率论等领域具有不可替代的地位。