什么是主成分分析（PCA）——从零开始讲清楚（超详细版）

什么是主成分分析（PCA）——从零开始讲清楚（超详细版）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_54700138/article/details/146046975

主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维技术，广泛应用于数据可视化、去噪、特征压缩等领域。本文将从零开始，用通俗易懂的语言，结合具体例子和图形，详细讲解PCA的基本概念、原理和计算步骤，并提供MATLAB代码实现，帮助读者全面理解这一重要技术。

1. PCA 是什么？

主成分分析（PCA）是一种无监督学习方法，旨在通过线性变换将原始的高维数据映射到一个低维空间，同时尽可能保留数据的方差（即信息量）。简单来说，PCA 的目标是找到一组新的坐标轴（称为主成分），这些坐标轴能够捕捉数据中最大的变异性，并用更少的维度来近似表示原始数据。

关键名词：

• 维度：就是数据的“特征数量”。比如，房子的面积、房间数是 2 个维度，加个价格就变成 3 维。
• 降维：把维度变少。比如，原来有 10 个特征，降维后只剩 2 个。
• 主成分：PCA 找到的“新坐标轴”。这些新坐标轴是原来特征的某种组合，能抓住数据里最大的变化。
• 比如：如果数据是一堆散乱的点，主成分就像是你找到的最粗的那根“趋势线”，能概括大部分点的走向。
• 方差：数据的“散乱程度”。方差越大，说明数据点越分散，越能体现差异。
• 比如：如果所有学生的数学成绩都是 80 分，方差就很小；如果有人 100 分，有人 20 分，方差就很大。

2. PCA 的原理

我们一步步拆开，用例子讲明白它的原理。现假设我们有学生成绩的数据，来看看 PCA 怎么操作。

2.1 数据定义

我们有 5 个学生的数学和物理成绩：

把这些点画在图上（横轴是数学，纵轴是物理），你会发现它们差不多沿着一条斜线分布。因为数学和物理成绩通常相关：数学好的，物理一般也不差。PCA 的目标就是找到这条“斜线”，然后用它来简化数据。

2.2 PCA 计算步骤

步骤 1：数据中心化

首先，我们需要将数据中心化，即让每个特征的均值变为 0。

• 计算均值：

• 数学均值：(80 + 90 + 70 + 60 + 85) ÷ 5 = 77

• 物理均值：(85 + 80 + 75 + 70 + 90) ÷ 5 =80

• 中心化后的数据（原始值减去均值）：

• 数学：80-77=3, 90-77=13, 70-77=-7, 60-77=-17, 85-77=8

• 物理：85-80=5, 80-80=0, 75-80=-5, 70-80=-10, 90-80=10

中心化后数据表格：

步骤 2：计算协方差矩阵

这是PCA的核心之一，协方差矩阵反映了特征自身的方差和特征之间的相关性。（这里不再给出具体公式，直接计算更直观）

• 协方差矩阵：

步骤 3：特征值分解

这是PCA的核心之一，我们需要对协方差矩阵进行特征值分解，得到主成分的方向（特征向量）和重要性（特征值）。这里直接给出计算结果（实际计算涉及求解二次方程，略去细节）：

• 特征值：

• λ1 ≈189.345

• λ2≈18.15

• 特征向量：

• v1 ≈[-0.860， -0.50896]（对应 λ1 ）

• v2≈[-0.860，0.50896]（对应 λ2）

步骤4：排序、选择主成分

按特征值从大到小排序，λ1≈189.345最大，说明v1≈[-0.860， 0.50896]是第一个主成分，捕捉了数据中最大的变化，也就是数据分布中最显著的变化方向。第二个主成分与第一个主成分正交（相互垂直），且在正交约束下方差次大的方向。后续主成分：依此类推，每个主成分都与前面的主成分正交，并按特征值大小递减排列。

步骤5：投影数据

将中心化后的数据投影到第一个主成分1上，得到降维后的结果。

投影公式：Z=数学中心化值×0.894+物理中心化值×0.447

计算每个学生：

• A:3×(-0.860)+5×(-0.50896)≈-5.127
• B:13×(-0.860)+0×(-0.50896)≈-11.190
• C:-7×(-0.860)+(-5)×(-0.50896)≈8.570
• D:-17×(-0.860)+(-10)×(-0.50896)≈19.72
• E:8×(-0.860)+10×(-0.50896)≈-11.9759

降维后数据：

PCA后可以看到第一主成分红色箭头表明了数据的主要变化趋势，绿色箭头表示第二主成分方向。举的例子数据有点少，可能不太明显看出来，然后使用生成了100个大致符合y=2x+1分布的点，可以明显看出来红色箭头表明了其变化方向，如下（程序附后）：

3. 几个问题

3.1 为什么要计算协方差矩阵？

协方差矩阵是 PCA 的基础，它用于描述数据集中变量之间的关系。具体来说：

• 定义：协方差矩阵是一个对称矩阵，对角线上的元素表示每个变量的方差，非对角线上的元素表示变量之间的协方差（即变量之间的线性相关性）。
• 作用：PCA 的目标是找到一组新的坐标轴（称为主成分），使得数据在这些轴上的投影方差最大化，同时这些轴相互正交（不相关）。协方差矩阵正好量化了数据中的变异性和变量间的相关性，为找到这样的轴提供了基础。
• 意义：通过协方差矩阵，我们可以了解哪些变量变化较大，哪些变量之间存在较强的关联，从而为后续的主成分提取奠定基础。

简单来说，计算协方差矩阵是为了捕捉数据的变异性和结构信息。

3.2 为什么要进行特征值分解？

特征值分解是 PCA 的关键步骤，它将协方差矩阵分解为特征值和特征向量，用于确定主成分的方向和重要性。原因如下：

• 特征向量：特征向量表示数据变异性最大的方向，这些方向是新的坐标轴（主成分），且彼此正交。这种正交性确保了主成分之间没有相关性。
• 特征值：特征值表示每个特征向量方向上的方差大小。特征值越大，说明该方向捕捉的变异性越多。
• 目的：通过特征值分解，我们可以将原始数据投影到这些特征向量上，从而实现降维，同时尽可能保留数据的信息。

换句话说，特征值分解帮助我们找到数据中最重要的变异方向，并用这些方向重新表示数据。

3.3 为什么要对特征值进行排序？

对特征值排序是 PCA 的重要环节，其目的是确保主成分按重要性排列。原因如下：

• 重要性排序：特征值的大小反映了每个主成分捕捉的方差大小。较大的特征值对应于更重要的主成分，因为它们解释了数据中更多的变异性。
• 降维应用：通过将特征值从大到小排序，我们可以：
• 确保第一个主成分捕捉最大方差，第二个主成分捕捉次大方差，以此类推。
• 在降维时，只保留前几个主成分（即特征值最大的那些），从而减少数据维度，同时保留主要信息。
• 可视化：排序后，选择前两个或三个主成分，可以将高维数据投影到二维或三维空间，便于观察和分析。

因此，排序特征值是为了按重要性排列主成分，确保降维时优先保留数据中最有价值的部分。

3.4 PCA 能干啥？

①数据可视化

• 场景：你有 50 个特征的癌症基因数据，想看看样本分布。
• PCA 降到 2 维，画散点图，能看出正常和癌症样本的区别。

②去噪声

• 场景：一张模糊的人脸照片。
• PCA 保留主要成分（人脸轮廓），丢掉小方差的噪声，照片变清晰。

③特征压缩

• 场景：手写数字识别，28x28 像素 = 784 维。
• PCA 降到 50 维，模型训练更快，效果差不多。

④数据压缩

• 场景：视频每一帧 1920x1080 像素。
• PCA 压缩每帧，节省存储和传输空间。

等等...甚至还可以使用PCA 提取客户“购物倾向”（买了啥，多少次）主成分，帮超市分析顾客类型。

4. MATLAB程序

% 生成一个二维数据集
rng(1); % 设置随机种子以确保结果可重复
n = 100; % 样本数量
x = linspace(0, 10, n); % 生成x轴数据
y = 2 * x + 1 + randn(1, n); % y与x有线性关系，并加入噪声
data = [x; y]'; % 组合成n x 2的矩阵

% 绘制原始数据
figure;
scatter(data(:,1), data(:,2), 50, 'filled');
title('原始数据');
xlabel('X');
ylabel('Y');
xlim([0 25]);  % 设置横坐标范围为 [0,25]
ylim([0 25]);  % 设置纵坐标范围为 [0, 25
grid on;

% PCA步骤
% 1. 中心化数据
mean_data = mean(data); % 计算均值
centered_data = data - mean_data; % 数据减去均值

% 2. 计算协方差矩阵
cov_matrix = cov(centered_data);

% 3. 特征值分解
[eigen_vectors, eigen_values] = eig(cov_matrix);

% 4. 按特征值大小排序
[eigen_values, sort_idx] = sort(diag(eigen_values), 'descend');
eigen_vectors = eigen_vectors(:, sort_idx);

% 5. 选择主成分
principal_components = eigen_vectors; % 保留所有主成分（这里是2个）

% 6. 将数据投影到主成分上
projected_data = centered_data * principal_components;

% 绘制PCA结果
figure;
hold on;
scatter(projected_data(:,1), projected_data(:,2), 50, 'filled');

% 绘制主成分方向
scale = 5; % 缩放因子，用于可视化主成分向量
quiver(0, 0, principal_components(1,1)*scale, principal_components(2,1)*scale, 'r', 'LineWidth', 2);
quiver(0, 0, principal_components(1,2)*scale, principal_components(2,2)*scale, 'g', 'LineWidth', 2);

title('PCA降维后的数据');
xlabel('主成分1');
ylabel('主成分2');
legend('数据点', '主成分1', '主成分2');
xlim([-15 15]);  % 设置横坐标范围为 [-15, 15]
ylim([-5 10]);  % 设置纵坐标范围为 [-5, 10]
grid on;
hold off;