如何理解方向导数(图文版)
如何理解方向导数(图文版)
在现实中会遇到这样一类问题，比如下图是某台风的图像，我们想分析该台风在各个方向的强度，那么就需要借助本课将要介绍的概念，方向导数以及梯度。
台风的图像
1 方向导数
我们先来学习方向导数
方向导数的定义
下面直观地来解释下上述定义。让我们在面上的点建立平面坐标系，为该坐标系中的向量，其与该坐标系中的两个坐标轴的夹角分别为和，所以
在该坐标系中的单位方向向量，如下图所示。
所以上述定义中的可以如下改写：
所以表示的就是一个动点，时，该动点沿着所在射线，或者说沿着所在的方向，不断地逼近点，如下图所示。
时，会沿所在射线上趋近于点
所以时，动点会沿着射线对应的曲线不断地逼近点，如下图所示。所以上述定义中的方向导数就是函数在点在方向上的变化率。
时，会沿曲线不断地逼近点
2 曲线的微分
曲线在点的切向量，即曲线在点的切向量
以为自变量，为因变量，就可以得到曲线在点的微分向量函数：
3 可微分时的方向导数
如下图所示，其中转动的表示任意方向，对应的切向量表示沿方向的方向导数存在。结合上之前的学习，容易理解这些切向量都在全微分上。
任意方向上的切向量都存在，且在全微分上
根据上述定理中的条件可知，方向与方向的夹角为，与方向的夹角为。且这些方向上的切向量都在全微分上，如下图所示。
与、的夹角分别为、，其切向量在全微分上
这些切向量都在全微分上，可以想象，这意味着从开始贴着切平面平滑地转动就可到达，途中会经过，如下图所示。
平滑地转动意味着，方向上的变化率会逐渐过度到方向上的变化率，而方向上的变化率介于两者之间，也就是在及之间，所以就不难理解上述定理中的结论：
同样可证明，如果函数在点可微分，那么函数在该点沿方向的方向导数为：
4 方向导数都存在不一定可微分
上述定理反过来不一定对，也就是说方向导数都存在但不一定可微分，即：
比如下图中看上去像屋顶的函数，其中绕点转动的表示任意方向，对应的切向量表示沿方向的方向导数存在。但这些切向量上下起伏，不在一个平面上，所以函数在点不是可微分的。
"屋顶"曲面
各个方向上的导数都存在，但该曲面在点不可微