泰勒多项式

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@小白创作中心

泰勒多项式

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CSDN

https://blog.csdn.net/dmf_fff/article/details/146356364

泰勒多项式是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。本文将从基础的导数概念入手，逐步引出泰勒公式的定义，并通过具体的数学公式和图形来帮助读者理解泰勒多项式的性质和应用。

1.理解导数

导数可以理解为空间中一个点上的变化方向，或者说是斜率。点对应到现实世界，可以认为是某一时刻或者某一瞬间的速度（位置关于时间的一阶导），或者某一瞬间的加速度（位置关于时间的二阶导）。

可以这么理解，空间中某个点的一阶导数可以理解为这个点在空间中的变化方向，二阶导则为这个点变化方向的变化方向，三阶导则为这个点变化方向的变化方向的变化方向。

2.泰勒公式的理解

泰勒多项式是将一个函数f ( x ) f(x)f(x)在某一点a aa处展开为多项式形式：

P n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^nPn (x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a) (x−a)2+⋯+n!f(n)(a) (x−a)n

为了方便理解将其写成下面的形式

P n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) ( x − a ) 2 2 ! + . . . + f ( n ) ( a ) ( x − a ) n n ! P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ f''(a)\frac {(x-a)^2}{2!} + ... + f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}Pn (x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2 +...+f(n)(a)n!(x−a)n

如上图所示，泰勒多项式可以看做上面两部分；导数部分和红框所示的部分，其中导数部分可以理解为泰勒展开点在空间中的变化方向，红框所示的部分可以看做一个系数，用于决定各阶导的重要程度。

距离展开点越近也就是x − a x - ax−a越小, 随着阶数的增长，分母越来越大，分子越来越小，其整体是趋近越来越小的，所以展开点附近的点，主要是由低阶导决定的

距离展开点越远也就是x − a x - ax−a越大，随着阶数的增长，分子越来越大（指数增长），分母虽然也越来越大，但增长趋势远远不如分子的，所以整体值是越来越大的，所以距离展开点越远的点，其受高阶导的影响越大。

总结：在展开点附近的点，其受低阶导的影响较大，距离展开点越远，受高阶导的影响越大。