勾股数规律的探讨与应用

勾股数规律的探讨与应用

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/NYIST_TC_LYQ/article/details/52280149

勾股数是数学中的一个重要概念，它指的是能够构成直角三角形三边的一组正整数。本文将从基本定义出发，探讨勾股数的规律及其应用。

基本定义

1. 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
2. 勾股数是构成直角三角形的充分且必要条件。

勾股数的生成规律

1. 奇数开头的勾股数

观察以下勾股数：3 4 5；5 12 13；7 24 25；9 40 41；11 60 61；... 可以发现这些勾股数都是以奇数开头，从3起就没有间断过。

规律：对于大于1的奇数，由于奇数平方还是奇数，它平方后就可以拆成相邻的两个整数相加，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。此规律对于任意大于1的奇数都成立。

证明：
设此奇数为 (n)，则 (n^2 = 2k + 1)（其中 (k) 是整数）。
因为 (n^2 = (k+1)^2 - k^2)，所以 (n, k, k+1) 构成一组勾股数。

2. 偶数开头的勾股数

再来观察：4 3 5；6 8 10；8 15 17；10 24 26；... 发现这些都是以偶数开头。

规律：对于大于2的偶数，平方后除以4再减一或者加一即构成一组勾股数。也可以说：把这个偶数除以2再平方，然后这个平方数加一或者减一即得一组勾股数。

证明：
设此偶数为 (2m)，则另外两条边为 (m^2 - 1) 和 (m^2 + 1)。
因为 ((2m)^2 + (m^2 - 1)^2 = (m^2 + 1)^2)，所以 (2m, m^2 - 1, m^2 + 1) 构成一组勾股数。

3. 任意整数生成勾股数

任取两个正整数 (m)、(n)（(m > n)），那么：
[a = m^2 - n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2]
构成一组勾股数。

证明：
将上面代数式带入验证即可。

勾股数的特点

观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：

1. 直角三角形短直角边为奇数（大于1），另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2. 如果短直角边为奇数，则直角三角形的周长等于短直角边的平方与其本身的和（由上述1可证明）。

实际应用

下面来看一个典型例题：Codeforces Round #368 (Div. 2)

题意很简单，由样例即可知：给出一个整数问是否能找出另外两个数使得构成一组勾股数。如不能则输出-1，反之，则输出任意符合的两个数。

很明显是上述1、2情况。

给出两种代码实现：

1.0 由自己摸索

int main()
{
    long long a;
    while(~scanf("%I64d",&a))
    {
       if(a<3) printf("-1\n");//小于3不符合；
       else
       {
           if(a%2) printf("%I64d %I64d\n",a*a/2,a*a/2+1);奇数很容易推导出来；
           else
           {
               if((a/2)%2)
               {
                   a/=2;
                   printf("%I64d %I64d\n",a*a/2*2,(a*a)/2*2+2);
                   continue;
               }
               if(a%3==0)
               {
                   long long x=a/3;
                   printf("%I64d %I64d\n",4*x,5*x);
               }
               else if(a%4==0)
               {
                   long long x=a/4;
                   printf("%I64d %I64d\n",3*x,5*x);
               }
               else if(a%5==0)
               {
                   long long x=a/5;
                   printf("%I64d %I64d\n",3*x,4*x);
               }
               else printf("-1\n");
           }
       }
    }
    return 0;
}

2.0 用勾股数定理

int main()
{
    long long a;
    while(~scanf("%I64d",&a))
    {
        if(a<3)
        {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        if(a%2) printf("%I64d %I64d\n",a*a/2,a*a/2+1);
        else
        {
            a/=2;
            long long b=a*a-1;
            long long c=b+2;
            printf("%I64d %I64d\n",b,c);
        }
    }
    return 0;
}
//明显简短许多。

通过以上分析和代码示例，可以看出勾股数不仅是一个数学概念，更是一个在实际问题中具有广泛应用的工具。掌握勾股数的规律，可以帮助我们更高效地解决相关问题。