伽罗瓦群论通俗导论：为什么一元五次方程没有通用的根式解？

伽罗瓦群论通俗导论：为什么一元五次方程没有通用的根式解？

伽罗瓦群论是19世纪最伟大的数学成就之一，它不仅解决了困扰数学家们长达几个世纪的一元五次方程根式解问题，更重要的是，它开创了现代代数学的新纪元。本文将带你走进伽罗瓦群论的世界，从基础概念出发，逐步揭示这个深奥理论的美妙之处。

伽罗瓦群论，源自于一个旷世难题：一元五次方程是否有通用的根式解。这个问题最终由年轻的伽罗瓦通过结构化的证明给出了否定的答案，这一发现横空出世，彻底改变了数学的发展方向。

伽罗瓦在给友人的信中提到：“数学，不是纷繁的计算，而是精妙简洁的结构。”这句话道出了数学的本质，也揭示了伽罗瓦群论的核心思想。

什么是结构？

在《伽罗瓦群论通俗导论引言》中，指出数学是结构的创造。今日我们再窥一二。

域扩展的层次结构

让我们从最基础的域开始构建结构：

• 第0层域（Q）：有理数域，包含所有可以表示为两个整数比的数。
• 第1层域（Q(√2)）：在第0层基础上扩展了根号2。这里的√2仅作为一个例子。
• 第2层域（Q(√2, i)）：在第1层基础上再扩展了虚数单位i。同样，虚数i仅作为一个例子。

接下来，我们定义一些重要的自同构映射群：

• G₁₀：层次1的自同构映射，并且不动点子域为层次0（第1层扩展群）
• G₂₁：层次2的自同构映射，并且不动点子域为层次1（第2层扩展群）
• G₂₀：层次2的自同构映射，并且不动点子域为层次0（双层合并扩展群）

这些群之间的关系可以表示为：G₁₀ = G₂₀ / G₂₁，即第1层扩展群等价于双层合并扩展群与第2层扩展群的商群。

为什么需要扩展？

让我们通过一些具体的例子来理解域扩展的必要性：

• 方程 x² - 1 = 0 的解是 1 和 -1，这个方程在有理数域内就可以完全分解：x² - 1 = (x - 1)(x + 1)。
• 而方程 x² - 2 = 0 的解是 √2 和 -√2，这些解不是有理数。为了表示这些解，我们需要创造一个新的符号 √2，从而扩展了有理数域。

当 √2 被引入后，方程 x² - 2 可以分解为 (x - √2)(x + √2)。虽然 √2 不是有理数，但它对应着一个有理数系数的多项式的根，可以用来分解多项式。

伽罗瓦的独特洞察在于发现了这些看似平凡的变换背后的深刻结构。例如，对于多项式 (x - √2)(x + √2)，当把 √2 变换为 -√2 时，多项式整体变为 (x - (-√2))(x + (-√2)) = (x + √2)(x - √2)，与原式等价。这种变换称为共轭变换，它揭示了数学结构中隐藏的对称性。

共轭变换与完全不变的同构映射共同构成了同构映射群 G₁₀。

为什么需要多层次扩展？

考虑方程 x⁴ - x² - 2 = 0，它可以分解为 (x² - 2)(x² + 1)。我们已经知道如何通过扩展 √2 来解决 x² - 2 = 0，现在需要进一步扩展虚数单位 i 来解决 x² + 1 = 0。

√2 与 i 的各自扩展都对应 2 种同构映射：不变映射与共轭映射。将它们两两组合，可以得到 4 种同构映射。

总结来说，方程求根式解的过程，本质上是通过域的扩展来实现的，而保持子域不变的扩展域的自同构映射群则揭示了这些扩展的深层结构。

多层次根式扩展的结构

• G₁₀ 和 G₂₁ 是每一层的层级扩展群，每个层级扩展都是根式扩展，根式扩展都是阿贝尔群（可交换群）。
• G₂₀ 是多层合并扩展群。
• G₂₁ 是 G₂₀ 的正规子群，多层合并扩展的最外层层级扩展是其正规子群。
• G₁₀ 与 G₂₀ 和 G₂₁ 的商群同构，G₁₀ = G₂₀ / G₂₁，内层多层合并扩展群与整体多层合并扩展群和最外层层级扩展群的商群等价。

为什么一元五次方程没有通用的根式解？

由上节根式扩展的结构可知，如果一元五次方程有根式解，其根式扩展必须满足上述结构。然而，其整体的多层合并扩展群的同构映射个数不会超过 5!（5 的阶乘），并且是 5 阶置换群的子群。

而 5 阶置换群存在一类子群无法满足上述结构，即包含所有 3 元循环交换子同构变换的 5 阶置换群的子群。这类子群无法由根式扩展逐层扩展而来，因为这些 3 元循环交换子同构映射若出现在多层次合并扩展群中，由于最外层的层级扩展是阿贝尔群（可交换群），则其也必出现在内层合并扩展群中，于是每一内层合并群都将包含 3 元循环交换子，即最底层的群也将包含 3 元循环交换子变换，导致最底层无法化约为单位元群。

具体证明如下：

设 x = (1, 2, 3)，y = (3, 4, 5)。则：

x⁻¹y⁻¹xy = (1, 2, 3)⁻¹(3, 4, 5)⁻¹(1, 2, 3)(3, 4, 5)
= (3, 2, 1)⁻(5, 4, 3)(1, 2, 3)(3, 4, 5) = (3, 2, 5)

置换过程举例：

(3, 2, 1)⁻(5, 4, 3)(1, 2, 3)(3, 4, 5) 的置换过程如下（注意是从右到左）
abcde (3, 4, 5)⁻-> abecd (1, 2, 3) -> eabcd (5, 4, 3) -> eacdb (3, 2, 1) -> acedb

(3, 2, 5)的置换过程如下
abcde (3, 2, 5) -> acedb

可见(3, 2, 1)⁻(5, 4, 3)(1, 2, 3)(3, 4, 5) 的组合置换与(3, 2, 5)的置换等价

因abcde是任意设定的，所以任意三元循环置换都可由某两个三元循环置换的交换子得来。

所以交换子（三元循环置换）属于每一层级的正规子群。

故无法将正规子群逐级化约为最底层的单位元同构群。

所以，这种包含所有三元循环置换的5阶群的子群，无法满足多层次扩展的结构，即其对应的此类1元5次多项式没有根式解。

结语

伽罗瓦群论不仅解决了方程求解的问题，更重要的是，它开创了一种全新的数学思维方式：通过研究结构和对称性来理解数学对象。这种思想在现代数学的各个领域都有深远的影响。

斯人已去，吾辈传承其绝学，为同行人与后来人，点亮一颗历史长河中的启明星。

参考文献：

• 《Galois Theory 伽罗瓦群论》，Emil Artin
• 《真实与虚拟——后真相时代的哲学》，金观涛
• 《Elements of Mathematics 数学原本》，布尔巴基
• 伽罗瓦群论通俗导论引言——不单是解方程，更是自同构的层次扩展
• 金老师点燃了我对数学的热情：无理数为何没有道理？
• 如何用图灵机做算术运算？—— 数学，到底是什么？