莱布尼茨公式如何计算导数

莱布尼茨公式如何计算导数

引用

百度

1.

https://zhidao.baidu.com/question/1905874490248959620.html

莱布尼茨公式是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。

公式定义

莱布尼茨公式可以表示为：

其中：

• C（n，k） 是组合符号，表示n取k的组合
• u^（n-k） 表示u的n-k阶导数
• v^(k) 表示v的k阶导数

推导过程

如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，

u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)

至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：

(uv)' = u'v + uv'

(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''

(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''

……

上式便称为莱布尼茨公式（Leibniz公式）

与牛顿-莱布尼茨公式的区别

由于名称相似，不少人将牛顿-莱布尼茨公式与莱布尼茨公式相混淆，事实上他们是两个完全不同的公式。

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。而莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。

二者存在本质上的区别。