统计特征：偏度和峰度（可视化图例解释）

统计特征：偏度和峰度（可视化图例解释）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_74268817/article/details/143508352

在数据分析和机器学习领域，理解数据的分布特征对于选择合适的模型和进行有效的特征工程至关重要。偏度和峰度作为衡量数据分布形状的重要统计指标，能够帮助我们更好地理解数据的特性。本文将详细介绍偏度和峰度的基本概念、检验方法、特征分析以及处理方法，并通过Python代码示例和可视化图表进行直观展示。

基本概念

在机器学习和数据分析中，峰度和偏度可以作为特征提取的指标，用于评估数据的分布形状，从而帮助理解数据集的特征并选择合适的模型。

峰度

峰度衡量数据分布的尖锐程度或尾部的厚度。

• 高峰度：分布曲线尖锐，尾部较重，峰度较高，表示更多极值。
• 常态峰度：类似正态分布，峰度接近零。
• 低峰度：分布曲线较平缓，尾部轻，峰度较低，数据更分散。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import kurtosis

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 处理负号显示

# 设置随机种子
np.random.seed(0)

# 生成不同高峰度的数据
data_h= np.random.laplace(loc=0, scale=1, size=1000)  # 高峰度分布
data_n = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)    # 常态峰度分布
data_l = np.random.uniform(low=-2, high=2, size=1000)   # 低峰度分布

# 计算高峰度
kurt_h = kurtosis(data_h)
kurt_n = kurtosis(data_n)
kurt_l = kurtosis(data_l)

# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 6))

# 高峰度分布
plt.subplot(1, 3, 1)
sns.histplot(data_h, bins=30, kde=True, color='blue', stat='density')
plt.title('高峰度分布')

# 常态峰度分布
plt.subplot(1, 3, 2)
sns.histplot(data_n, bins=30, kde=True, color='green', stat='density')
plt.title('常态峰度分布')

# 低峰度分布
plt.subplot(1, 3, 3)
sns.histplot(data_l, bins=30, kde=True, color='red', stat='density')
plt.title('低峰度分布')

plt.tight_layout()
plt.show()  

偏度

偏度衡量数据分布的对称性或偏斜方向。

• 正偏 (右偏)：右偏分布指的是数据分布的尾部向右侧延伸，即较高的值（极端值）分布在右侧。此时，均值通常大于中位数。
• 负偏 (左偏)：左偏分布指的是数据分布的尾部向左侧延伸，即较低的值（极端值）分布在左侧。此时，均值通常小于中位数。
• 对称 (无偏)：分布呈对称形状，类似于正态分布，偏度接近零。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import skew

# 设置字体以支持中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 处理负号显示

# 设置随机种子
np.random.seed(0)

# 生成不同偏度的数据
data_r = np.random.exponential(scale=1, size=1000)  # 右偏分布
data_l = -np.random.exponential(scale=1, size=1000)  # 左偏分布
data_n = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)  # 对称分布

# 计算偏度
skew_r = skew(data_r)
skew_l = skew(data_l)
skew_n= skew(data_n)

# 绘图
plt.figure(figsize=(15, 5))

# 右偏分布
plt.subplot(1, 3, 1)
sns.histplot(data_r, bins=30, kde=True, color='blue', stat='density')
plt.title(f'右偏分布 (偏度: {skew_r:.2f})')

# 左偏分布
plt.subplot(1, 3, 2)
sns.histplot(data_l, bins=30, kde=True, color='green', stat='density')
plt.title(f'左偏分布 (偏度: {skew_l:.2f})')

# 对称分布
plt.subplot(1, 3, 3)
sns.histplot(data_n, bins=30, kde=True, color='red', stat='density')
plt.title(f'对称分布 (偏度: {skew_n:.2f})')

plt.tight_layout()
plt.show()  

检验方法

1、可视化方法（主观判断）

直方图

• 偏度：直方图的形状可以显示数据分布的偏斜程度。如果左侧尾巴较长，说明数据左偏；如果右侧尾巴较长，说明数据右偏。
• 峰度：直方图的尖峭程度可以反映峰度。如果直方图的形状很尖，则可能具有高峰度；如果形状比较平坦，则可能具有低峰度。
• 结合偏度和峰度一起判断。

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import numpy as np

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 处理负号显示

np.random.seed(10)

# 示例数据
data = np.random.normal(loc=50, scale=10, size=200)
data = np.append(data, [150, 160, 180])  # 添加异常值

# 绘制直方图
plt.hist(data, bins=30, edgecolor='black')
plt.title("直方图")
plt.xlabel("Value")
plt.ylabel("Frequency")
plt.show()  

箱线图

• 偏度：可以判断。通过观察箱体的对称性和须的长度，可以判断数据的偏度。如果箱体的中位线偏向一侧，或一侧的须较长，说明数据存在偏斜。
• 峰度：不直接判断。箱线图主要显示数据的四分位数和极端值，不能直接判断峰度。

import seaborn as sns
import numpy as np

# 示例数据
data = np.random.normal(loc=50, scale=10, size=200)
data = np.append(data, [150, 160])  # 添加异常值

# 绘制箱线图
sns.boxplot(data=data)
plt.title("箱线图")
plt.show()  

QQ图

• 偏度：可以间接判断。QQ图通过将样本分位数与理论分布的分位数进行比较，偏离直线的程度可以间接反映数据的偏度。
• 峰度：可以判断。QQ图的偏离程度也可以用来判断峰度。如果尾部比理论分布的尾部更重，说明数据的峰度较高。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats

# 生成示例数据
data3 = np.random.normal(loc=50, scale=10, size=200)
data3 = np.append(data3, [150, 190])  # 添加异常值

# 绘制QQ图
stats.probplot(data3, dist="norm", plot=plt)   # dist="norm"，表示与正太分布比较
plt.title("QQ")
plt.show()  

2、统计方法（调包）

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.stats import skew, kurtosis

# 生成一个示例数据集
data = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=100)  # 正态分布数据

# 计算偏度和峰度
skewness_ = skew(data)
kurtosis_ = kurtosis(data)   # 默认计算修正峰度

print(f"偏度: {skewness_:.4f}")
print(f"峰度: {kurtosis_:.4f}")

# 偏度: 0.2053
# 峰度: 0.0802

偏度的绝对值通常被认为是：

• [0, 0.5]：分布近似对称。
• [0.5 , 1]：轻微的偏斜。
• [>1 ]：明显的偏斜。

正常峰度（以3为界点）：

• 峰度 = 3：正态峰度。
• 峰度 > 3：高峰度（比正态更尖锐）。这通常意味着存在更多的极端值（异常值）。
• 峰度 < 3：低峰度（比正态更平坦）。这表明数据的极端值较少，数据分散更广。

修正峰度（正常峰度-3，即以0为界点）：

• 修正峰度 = 0：正态峰度
• 修正峰度 > 0：高峰度
• 修正峰度 < 0：低峰度

高峰度

高峰度的特征

• 分布的集中性更强：高峰度分布说明大部分数据值集中在均值附近，数据密度较高。这通常意味着中间的值变化较小，而多数数据点更靠近均值。
• 极端值更多：高峰度分布在尾部有更多的极端值或离群点，即数据中包含更多异常的高值或低值。
• 偏离正态分布：对于假设数据正态分布的模型来说，高峰度可能影响结果的准确性或鲁棒性。

高峰度处理方法

• 去除异常值：这种方法简单有效，但可能导致信息丢失。
• 变换数据：对数据进行变换，如使用对数变换、平方根变换或Box-Cox变换，以减小异常值影响。
• 聚合数据：将数据分组并计算组内的均值或中位数，从而降低异常值的影响。
• 数据插补：如果异常值影响了模型的表现，可以考虑用插补方法（如均值、邻近值或插值法）来替换异常值。
• 利用模型鲁棒性：使用对异常值不敏感的模型，如决策树或随机森林。这些模型可以更好地处理高峰度数据。

低峰度

低峰度的特征

• 分布平坦：低峰度表明数据值的分布较为平坦，数据的集中性较弱。与高峰度相比，数据点分散得更广，意味着均值附近的数据点不如高峰度分布那样密集。
• 极端值较少：低峰度分布通常在尾部表现出较少的极端值或离群点。这意味着数据中不太可能包含异常的高值或低值，整体上显得更加“正常”。
• 信息量更均匀：低峰度分布表示信息在不同值之间更均匀地分布，而不是集中在某些特定值上。这种特征可能会影响数据的特征选择和模型构建，因为它可能会导致某些特征的影响力被低估。

低峰度处理方法

• 增加样本量：收集更多数据，以提高数据集中程度，减少扁平化效应。
• 特征工程：进行特征选择或构造新特征，增强模型对数据中重要特征的捕捉能力。
• 使用非参数方法：考虑使用非参数检验或建模方法（如决策树），这些方法对数据分布的假设要求较低。
• 归一化或标准化：将数据进行归一化或标准化，帮助数据更好地适应模型。
• 考虑多模型集成：结合不同模型的预测结果，可以帮助提升在低峰度数据上的表现。

左偏和右偏

左偏特征

• 集中低值：大多数数据值集中在较低的数值上，分布的“峰”偏向左侧。
• 极端值：存在一些较高的极端值，这些值会拉高均值。
• 数据分布形态：典型的右偏分布包括指数分布、泊松分布和某些类型的正态分布（如对数正态分布）。

示例：收入分布。大多数人的收入较低，但少数人拥有非常高的收入，导致整体分布右偏。

右偏特征

• 集中高值：大多数数据值集中在较高的数值上，分布的“峰”偏向右侧。
• 极端值：存在一些较低的极端值，这些值会拉低均值。
• 数据分布形态：典型的左偏分布包括某些类型的正态分布和对数分布。

示例：考试成绩分布。大多数学生成绩较高，但可能有少数学生的成绩非常低，导致整体分布左偏。

左偏、右偏处理方法

• 数据变换：
• 对数变换：对右偏数据进行对数变换可以有效减小偏度，使数据更接近正态分布。
• 平方根变换：适合于计数数据，能够减少偏度的影响。
• 反向变换：使用反函数（例如 y=1/x ）来处理极端高值，使用反函数（例如y=−x）来处理极端低值。
• 去除离群点：通过 Z-score 或 IQR 方法识别和去除极端值，以降低极端值对整体分析的影响
• 数据分组：将数据分组或分桶，例如使用类别变量来代替原始数值，减少极端值的影响。
• 模型选择：或者使用适合左偏或右偏分布的模型。