包络线的通用求法

包络线的通用求法

包络线是几何学中的一个重要概念，它描述了一组曲线的公共切线。本文将介绍包络线的通用求法，并通过一个具体的例题来展示这一方法的应用。

在几何学中，某个曲线族的包络线（Envelope），是跟该曲线族的每条线都有至少一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

曲线族可以表示为关于(t)的方程, 又由于包络线不会因为t改变,所以其关于(t)的偏导数恒为0,

联立方程,

(\left { \begin{aligned} &F(x, y, t) = 0 \ &\dfrac{\partial}{\partial t} F(x, y, t) = 0 \end{aligned} \right .)

解出(x),(y)关系,即为包络线方程。

例题:

如图所示，光滑墙角(xOy)上，竖直放置一长度为 1米 的爬梯，求爬梯下滑过程中扫过区域。

注意到每个(t\in [0, 1])都可以确定当爬梯底端横坐标为(t)时爬梯所在直线的方程:

[y=\dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2}\\iff F(x, y, t) = y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0 ]

根据上述方法，联立方程：

[\left{\begin{aligned}y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0\ \dfrac{\partial}{\partial t}\left[y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2} = 0\right] = 0 \end{aligned} \right . ]

x,y当作常数

[y - \dfrac{t-x}{t}\sqrt{1-x^2}=\(x-t)\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}\right)+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t}=0\\therefore x=t-\dfrac{\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t}}{\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}+\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}}=t^3 ]

带回((1):)

[\y-\dfrac{t-t^3}{t}\sqrt{1-t^2}=0\y=(1-t^2)^{3 \over 2}\x^{2 \over 3} + y^{2 \over 3}=1 ]

所以扫过区域即为(x^{2 \over 3} + y^{2 \over 3}=1)和两坐标轴围成图形。