抛物线标准方程及其几何性质

抛物线标准方程及其几何性质

抛物线是高中数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中占有重要地位，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将从抛物线的标准方程出发，介绍其定义、几何性质以及实际应用，帮助读者全面理解这一重要数学概念。

抛物线的标准方程

抛物线的标准方程是：y²=2px（p>0）。通常还有三种形式：

• y²=-2px（p>0）
• x²=2py（p>0）
• x²=-2py（p>0）

抛物线的发明者

抛物线的发明者是古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德（公元前287—公元前212年），他出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。

抛物线的几何性质

（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

（3）设抛物线上一点P（P不是顶点）的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质，即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。

抛物线的实际应用

各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

本文原文来自东科谱