从基础到算法，《矩阵之美》进阶！九类精妙矩阵算法深度解读

从基础到算法，《矩阵之美》进阶！九类精妙矩阵算法深度解读

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/25705485116

矩阵作为人类理性思维的智慧结晶和工程应用中的核心工具，在科学技术的诸多领域发挥着至关重要的作用。中国科学院空天信息创新研究院耿修瑞研究员的新作《矩阵之美（算法篇）》通过九个章节，深入剖析了九类最精妙、最优雅的矩阵算法，既展示了矩阵的简洁与实用，又彰显了它的美妙与神奇。

两年前，中国科学院空天信息创新研究院耿修瑞研究员推出了《矩阵之美（基础篇）》（耿修瑞著. 北京 : 科学出版社，2023. 3），从线性变换的角度，把人类对矩阵的认识大致划分为三个阶段，对矩阵的诸多重要概念进行了新的梳理，让我们从抽象而晦涩、就像一个黑匣子的矩阵一步步走近美妙而神秘、就像一架通往终极真理天梯的矩阵，带我们领略“矩阵之美”！（详见《走近神秘的矩阵之美》）

作为人类理性思维的智慧结晶和工程应用中的核心工具，矩阵在科学技术的诸多领域发挥着至关重要的作用，针对实践中的各种应用问题，研究人员发展出了功能各异的经典矩阵算法。作者最新推出的《矩阵之美（算法篇）》（耿修瑞, 朱亮亮著. 北京 : 科学出版社，2025. 1）将通过九个章节，深入剖析其中最精妙、最优雅的九类矩阵算法，为我们既展示矩阵的简洁与实用，又彰显它的美妙与神奇。

• 第1 章（最小二乘法）主要通过投影矩阵体现矩阵在曲线（面）拟合中的能力。
• 第2 章（主成分分析）主要通过协方差矩阵体现矩阵在子空间逼近中的能力。
• 第3 章（主偏度分析）主要通过协偏度张量体现矩阵（张量）在非高斯（非对称）分析中的能力。
• 第4 章（典型相关分析）主要通过互相关矩阵体现矩阵在变化分析中的能力。
• 第5 章（非负矩阵分解）主要通过非负矩阵体现矩阵在优化分析中的能力。
• 第6 章（局部线性嵌入）主要通过局部权重矩阵体现矩阵在非线性分析中的能力。
• 第7 章（傅里叶变换）主要通过循环移位矩阵体现矩阵在时、频分析中的能力。
• 第8 章（连通中心演化）主要通过相似度矩阵体现矩阵在多尺度分析中的能力。
• 第9 章（瑞利商）主要通过矩阵的瑞利商体现矩阵在多因素分析中的能力。
  
  图1: 约束最小二乘法
  
  图2: 主偏度分析的几何解释
  
  图3: 单形体的高与其构造的协偏度张量特征向量之间的关系
  
  图4: 典型相关分析的几何解释（相交情形）
  
  图5: 黑塞局部线性嵌入示例
  图6: 从傅里叶级数到傅里叶变换再到离散傅里叶变换
  图7: 利用循环移位矩阵对一维信号和二维图像进行循环移位
  图8: 连通中心演化示例

本书五大特点：

01 稀缺性
本书是目前市场上难得一见的专注于矩阵算法的书籍。它不仅涵盖了经典且前沿的矩阵算法理论，还弥补了现有教材在实践指导和应用扩展方面的空白，堪称研究和应用矩阵算法的珍贵参考资料。
02 通透性
本书系统而详尽地解读了各类经典矩阵算法，通过代数、分析、几何、统计、优化、物理等多角度全面解析这些算法的基本内涵，帮助读者对相关理论和算法有更加透彻的理解。
03 创造性
书中汇集了编者在矩阵理论和应用领域的诸多原创性成果。例如：

• 创立了三阶统计分析的标准工具——主偏度分析（PSA）；
• 创立了一阶统计分析的天然工具——连通中心演化（CCE）；
• 创新性引入了循环移位矩阵、完美差分矩阵等新工具，进一步拓展了傅里叶变换的理论和应用内涵。
  04 全面性
  本书充分展示了矩阵理论在多领域中的广泛应用潜力。具体涵盖了曲面拟合、子空间逼近、非高斯（非对称）分析、变化分析、优化分析、非线性分析、时频分析、多尺度分析和多因素分析等多个方向，彰显了矩阵在不同场景、多种复杂问题中的强大能力。
  05 易读性
  全书语言简洁流畅，以通俗易懂的方式生动介绍了各类经典矩阵算法的历史渊源和发展脉络。通过精心设计的实例和直观图表，帮助读者快速建立对相应算法的直观感知与深刻理解。即使是没有深厚数学背景的读者，也能轻松掌握相关理论与方法。
  通过以上矩阵算法的详细介绍，我们不仅感受到它们在解决实际问题中的强大能力，更深深感动于矩阵背后那种深藏的优雅与秩序，这些算法如同连接数学世界与现实世界的一座座桥梁，使我们得以洞察隐藏在数据之后的隐秘结构和深邃规律，在这一过程中，矩阵不仅仅是数字或符号的简单排列，更是帮助我们揭示自然规律和复杂系统内在结构的强大工具。
  本书适合高等学校理工科本科生、研究生、科研人员及对矩阵理论与应用感兴趣的读者参考使用。
  矩阵之美（基础篇）
  耿修瑞 著
  北京 : 科学出版社，2023. 3
  ISBN 978-7-03-074944-4
  
  矩阵之美（算法篇）
  耿修瑞, 朱亮亮著
  北京 : 科学出版社，2025. 1
  ISBN 978-7-03-080508-9