线性代数的开端，格拉斯曼色彩理论的故事
线性代数的开端，格拉斯曼色彩理论的故事
线性代数是现代人工智能中最重要的数学分支之一，它提供了一个表示和处理数据的数学框架，尤其是在高维空间中。鲜为人知的是，线性代数的开端竟然来源于色彩感知和混合的系统方法。
赫尔曼·冈瑟·格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann）是一位数学家和物理学家，在色彩科学等多个领域曾经做出了重大贡献。1844年首次出版了线性代数的巨著《线性扩展理论，数学的新分支》，基于这种数学，他在1853年提出了一种理解色彩感知和混合的系统方法，并且他将这方法写在了《色彩混合理论》一书中。
在这部开创性著作中，格拉斯曼开发了一个颜色混合的数学框架，并基于三原色概念引入了“色三角”概念。在这期推送中我们将以以数学的方式描述线性代数、向量空间以及向量空间之间的线性变换。然后，以此为工具介绍格拉斯曼的色彩理论，看看线性代数如何帮助我们理解他的理论。
线性代数
线性代数根据百科的解释是研究向量空间及其之间的线性映射的数学分支。它涵盖了广泛的主题，例如线性方程组、矩阵、行列式、特征值和特征向量、内积空间等。
直到19世纪，线性代数才通过线性方程组和矩阵引入。在现代数学中，通常首选用向量空间表示，因为它更综合、更通用（而不限于有限维情况），概念上更简单，但是它也更抽象。
向量空间为线性代数提供了基本结构。当我们研究线性变换（即保留向量加法和标量乘法的向量空间之间的映射）时，我们本质上是在探索向量空间的属性和行为。不知道你是否听说过同态的概念，这是相同类型的两个代数结构之间的结构保持映射。如果这个映射是双射，此时同态就升级为同构，当两个向量空间存在一个双射线性变换（即一一对应且满射的线性映射），向量空间V和W就是同构的。这意味着即使两个向量空间看起来如此不同，但他们本质上是一样的。记住这句话，当我们谈到格拉斯曼的色彩理论的时候也要意识到这点。
现代很多科学，诸如数学、物理、工程、计算机科学、经济学和其他领域的许多实际问题都可以使用线性代数的概念进行建模和解决。例如，求解线性方程组、查找特征值和特征向量（这在各种科学计算中至关重要）或在计算机图形学中执行变换都严重依赖于线性代数。
向量空间
域F（通常是实数或复数）上的向量空间是集合V的数学结构，它配备了两个满足以下公理的二元运算。V的元素被称为向量，F里的元素称为标量。第一个运算是向量加法，取任意两个向量v和w并输出第三个向量v + w。第二个运算是标量乘法，取任意标量a和任意向量v并输出一个新的向量av。加法和标量乘法必须满足以下公理。对于V中的任意元素u、v和w，以及域F中的任意标量a和b，
上述公理1至3对应于加法下的群的公理，第四个公理使得V可以被称为阿贝尔群。
让我们将平面中的欧几里得向量表示为箭头，以指示其方向和大小（通过其长度）。如果我们将两个向量的加法定义为利用三角形法则首尾相接，将标量乘法定义为箭头长度乘以标量因子的扩展或收缩，我们可以轻松证明上述所有公理都得到满足。注意这里的负向量定义为仅反转方向并保持相同长度。
线性变换(线性映射)
线性映射是向量空间之间的映射，它保持了向量空间的结构。给定域F上的两个向量空间V和W，线性映射 T: V → W是满足下面图片里的性质的映射：
格拉斯曼的色彩理论
颜色是人类视觉感知的一种现象，是由光与人眼和大脑相互作用而产生的。当光进入眼睛并刺激视网膜中的特殊细胞（称为视锥细胞）时，就会产生这种感觉。不同波长的光对应人类感知的不同颜色。颜色感知受光的亮度和波长影响。
比色法是色彩科学的一个分支，它可以客观地量化和描述颜色。所有颜色都可以通过改变三种原色刺激（通常是红色、绿色和蓝色）的亮度并混合来实现。格拉斯曼认为，在完美的白色空间视野中混合彩色光可以从数学上看作是矢量的加法。为此他提出了几个有意思的定律：
第一定律：如果两种有色光在色调（由主波长决定）、亮度或饱和度（纯度）上存在差异，它们看起来会不同。
推论1：对于每种有色光，都存在一种互补色光，使得两种光的混合要么降低强烈分量的饱和度，要么产生无色（灰色/白色）光。
第一定律表明，使用红色绿色蓝色这些变量，我们可以构建一个具有一组正交基的三维向量空间。任何颜色都可以通过三个独立变量的线性组合来指定。
当两种颜色互补时混合是说其中一个向量是另一个的逆，关于中央白点，这是一个零向量。在这种情况下，在它们的连接线上混合两个向量将导致介于两者之间的向量。
第二定律：如果其中一个分量变化，则由两个分量组成的光的混合外观会变化。
推论2：两种不互补的有色光的混合结果，其色调随着每种光的相对强度变化而变化，而饱和度根据每种光的色调之间的距离而变化。
另一方面，推论2描述了两种颜色不互补的情况，并且连接两个向量（A，B）的线不穿过零向量。在这种情况下，混合两个向量将导致由交点确定的向量C。其色调将介于A和B之间，具体取决于A和B的强度比例。推论1和推论2表明，任何两种颜色的加法将导致颜色圆环内的颜色，这意味着加法在由颜色圆环界定的集合中是封闭的，这是一个集合成为向量空间的基本要求。
第三定律：相同颜色的光在混合中产生相同的效果，无论其光谱成分如何。
推论3：相同颜色的两种光添加到相同颜色的另两种光中，产生的混合物也具有相同的颜色，即如果颜色A ⇄ 颜色B，颜色C ⇄ 颜色D，则颜色A + 颜色C ⇄ 颜色B + 颜色D，其中⇄表示颜色匹配。
假设集合V有两个元素颜色A和颜色C，集合W有两个元素颜色B和颜色D，推论3表明，通过颜色匹配的映射保持颜色加法运算，即两个集合是同构的。这意味着可以通过向量的数学加法来表示颜色的经验操作。
第四定律：混合物的总强度是混合物中各分量强度的总和，即如果颜色A + 颜色B ⇄ 颜色C，则（颜色A + 颜色B）/2 ⇄ 颜色C/2或（颜色A + 颜色B）* 2⇄ 颜色C* 2。
第四定律，也称为阿布尼法则，是一条经验法则，指出如果两种有色刺激A和B被感知为具有相同的亮度，而另两种有色刺激C和D也被感知为具有相同的亮度，则A与C的加法混合和B与D的加法混合也将被感知为具有相同的亮度。这表明，通过颜色匹配的映射，标量乘法对向量加法的分配性（向量空间的公理7）得到了保持。简而言之，可以说向量空间的公理得到了格拉斯曼上述定律和推论的支持。
事实上关于格拉斯曼的颜色理论我们还有很多没有解释的，但不论如何他为色彩感知和光的行为提供了一个数学框架。也让我们看到了线性代数的应用。