牛顿迭代法（Newton-Raphson method）及其代码实现

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@小白创作中心

牛顿迭代法（Newton-Raphson method）及其代码实现

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来源

https://www.bilibili.com/read/cv38757552/

牛顿迭代法（Newton-Raphson method）是一种用于寻找函数零点的数值分析方法。它通过函数图像上一点处的切线横截距来逼近零点，具有快速收敛的特点。本文将详细介绍牛顿迭代法的原理、应用及其代码实现。

引入（Introduction）

我们在数学必修1学过求一个方程式解的近似值的方法，先来回顾一下。
首先我们使用介值定理(Intermediate value theorem)确定解所在的大致区间，然后使用二分法逼近。这个方法与算法中的二分查找(Binary search)是一样的思路，但在对精度要求较高时所用的步数比较多，逼近的速度比较慢。
那么问题的关键就在于我们如何取值来缩小区间，从而逼近解。

牛顿迭代法（Newton-Raphson method）

牛顿迭代法是一种数值分析方法，用于寻找函数的零点。核心在于通过取函数图像上一点处的切线的横截距，再于此处进行同样的操作，不断迭代从而逼近零点，所以也叫牛顿切线法。

首先我们已经确定了函数
的零点所在的区间，并且保证此区间内其导函数
，也就是没有驻点。
接下来取区间中任意一点
作为初始猜测值(Initial guess)，我们可以求出此处的切线方程式：
下一个值
就是切线的横截距，代入
可以得到
同样地，我们再去求
处的切线，得到下一个值。按照这样的规则不断进行迭代。
我们可以把迭代得到的值看成一个数列
，并且能够知道：

，为零点的精确值
第一条就是这种方法的核心，称为牛顿迭代公式(Newton's Raphson iterative formula)。与其他方法相比，其逼近速度会更快，尤其是在近似的精度较高时尤为明显。

例题(Example)

Find the root of the function obtained after the first iteration on application of Newton-Raphson scheme using an initial guess of .

Given that has a root in , Find the root rounded to 2 decimal places using Newton-Raphson method.

代码实现（Code Implementation）

既然这个过程是迭代，那么就很容易通过编程来实现。实际上，许多能够求解方程式的计算器用的就是这个方法。
我们可以看到，麻烦的部分在于带入求出数值，那么我们完全可以把这一过程交给计算器，让进行这样过程。
下面是使用Python代码的实现效果，不同在于我们要自己先求出导函数。我们当然也可以直接使用第三方库来求解。

第一题：

Output:

第二题：

Output:

当然，此处我们也可以取
作为初始猜测值，只是所需要的步数不同而已。这里我们考虑到了异常的情况，也通过限制迭代次数来让我们能够看出我们最初的猜测是否合适。

总结（Summary）

虽说这是大学里数值分析的内容，实际上所用到的知识都是高中的，也经常出现在一些模考题中。
实际上，我们在解决物理问题时通常只需要得到方程式的一个近似的数值解，并且可以根据需要的精度容易地调整求解过程。而牛顿迭代法的核心就只有一个简单的公式，只涉及函数本身以及其导函数，并且能够通过较少的步数得到精度更高的值。这个算法最常用的就是快速求平方根了。

更多（More）

我们还可以通过把原方程式化为
的形式，得到迭代公式
。比如第二题我们可以得到
从而得到迭代公式
这种方法用到的是数列里的不动点，叫做不动点迭代法(Fixed point iteration method)。
虽然这看起来更加简单，但是其逼近速度比较慢，也并非所有方程式都容易化成这种形式。
无论是那种方法，选取初始猜测值时要在数列
的收敛域内，也就是保证得到的值越来越逼近精确值，就比如使用不动点法时需要满足
才行。
上面的问题中
, 我们取
, 不满足条件，那就要换成
再次判断，满足了才能进行迭代，这样我们才确保了方向是正确的。
那么，大家可以试着解决下面的问题，利用计算器或编程比较一下切线迭代与其他方法的逼近速度。

Given that