逻辑推理及其两种形式
逻辑推理及其两种形式
逻辑推理是人类思维的重要工具，它帮助我们从已知信息中推导出新的结论。逻辑推理主要分为归纳推理和演绎推理两种类型，它们分别从特殊到一般和从一般到特殊的角度进行推断。本文将详细介绍这两种推理方法及其在数学中的应用。
推理是对命题进行有根据的判断，是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。
命题，是可供判断的陈述句。判断就是指持肯定态度还是否定态度。
逻辑推理就是推理的依据是有逻辑的。它是是一种通过一定的逻辑方法和规则，从已知的前提或条件推导出新结论的过程。
逻辑是思维的规律和规则。有逻辑就是思维有正确的规律、规则。所以，逻辑推理就是指推理符合人们总结出来的、大家都认可的推理规律和规则（比如三段论），能够自洽，让人信服。
没有逻辑的推理就是思维不符合正确的规律、规则，比如“苹果是酸的，酸是一种味道，所以苹果是一种味道”就是没有逻辑的。
从本质上来说，逻辑推理只有两种类型：
1.归纳推理
归纳推理是从特殊到一般的推理方法。它通过观察和分析一系列特定的事例或数据，然后概括出一个普遍性的结论。因此，归纳推理是命题的适用范围由小到大的推理。
例如，观察到多只天鹅是白色的，就推断所有天鹅可能都是白色的。
可见归纳推理得到的结论不一定成立。
人们借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西。可以说，除去通过计算得到的结果之外，数学的结论都是通过归纳推理得到的。也就是说，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。
最典型的是数学中的各种猜想，比如，哥德巴赫猜想：从若干“偶数可以表示为两个素数之和”这样的经验事实出发，推断“任意偶数可以表示为两个素数之和”这个更为一般的未曾经验的结论。
有一些大家认为是个人就能“看”出来的东西，就成了“公理”，比如“过两点有且只有一条直线”。
2.演绎推理
演绎推理是从一般到特殊的推理方法。它基于一些普遍接受的原理或假设（前提），然后通过严格的逻辑规则推导出特定的结论。因此，演绎推理是命题的适用范围由大到小的推理。
比如经典的三段论：所有的A都是B（大前提），C是A（小前提），那么C也是B（结论）。如 “凡人都有一死，苏格拉底是人，所以苏格拉底得死”。
人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过归纳推理得到的结论，这便是数学的“证明”。通过证明能够验证结论的正确性，但不能使命题的内涵得到扩张。也就是说，演绎推理能保证论述的结论与论述的前提一样可靠，但不能增添新的东西。
演绎推理得到的结论必然成立。比如，根据“等量的等量还是等量，这个一般命题，可以证明：如果A＝B，并且B＝C，则A＝C。欧几里得就是用这样的方法，在《几何原本》中证明了第一个命题：对于任意给定的线段，可以作一个边长为这条线段长的等边三角形。
演绎推理是依附于归纳推理而存在的，因为它基于的“普遍接受的原理或假设”都是从归纳推理获得的。比如前面说的“凡人都有一死”，这个命题就是归纳推理的结果。
其他的各种推理，比如类比推理、假设推理、溯因推理等都是由归纳推理和演绎推理衍生出来的。比如归纳推理包括不完全归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等；演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。
数学就在已经形成了的概念和符号的基础上，从条件出发，通过归纳推理推断结论，再通过演绎推理验证推断的结论。