函数序列的逐点收敛和一致收敛的理解
函数序列的逐点收敛和一致收敛的理解
函数序列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数序列如何趋向于一个极限函数。本文将详细讨论两种常见的收敛方式：逐点收敛和一致收敛，并通过具体例子和图像直观展示它们的区别。
1. 逐点收敛(Pointwise Convergence)
1.1 逐点收敛定义
我们令 (A) 为一个非空子集，并假设对于每一个 (x \in A)，我们都有一个函数 (f_n(x))。则我们称 ({f_n(x)}) 是 (A) 上的一个函数序列。
定义：令 ({f_n(x)}) 为 (A) 上的一个函数序列。若对于每一个 (x \in A)，序列 ({f_n(x)}) 收敛于一个数 (f(x))，即
[
\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)
]
则我们称函数序列 ({f_n(x)}) 在 (A) 上逐点收敛于函数 (f(x))。在这种情况下，我们称函数 (f(x)) 为序列 ({f_n(x)}) 的逐点极限。
引理(判别法)：令 ({f_n(x)}) 为 (A) 上的一个函数序列，(f(x)) 为一个函数。当且仅当对于每一个 (x \in A) 和每一个 (\varepsilon > 0)，都存在一个 (N \in \mathbb{N})，使得对于所有的 (n \geq N)，都有
[
|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon
]
则称函数序列 ({f_n(x)}) 逐点收敛于函数 (f(x))。
1.2 对逐点收敛的理解
根据定义，“对于每一个 (x \in A) 和每一个 (\varepsilon > 0)”，我们应理解为每次先固定一个 (x) 和一个 (\varepsilon) (我们不妨设为 (x_0) 和 (\varepsilon_0))，再去求这个 (N)，这个函数序列在 (n \geq N) 之后的所有序列项 (f_n(x_0))，其函数值与这个固定的 (f(x_0)) 之间的距离都在 (\varepsilon_0) 范围内，即
[
|f_n(x_0) - f(x_0)| < \varepsilon_0
]
当我们取下一个 (x) 和另一个 (\varepsilon) (我们不妨设为 (x_1) 和 (\varepsilon_1)) 时，前面这个 (N) 就未必适合了，因此 (N) 又得变化，因此，所谓的“对于每一个 (x \in A) 和每一个 (\varepsilon > 0)”，是逐个取值的。也就是说，这个 (N) 的取值既受 (x) 的约束，也受 (\varepsilon) 的约束，不同的 (x) 和 (\varepsilon) 取值，这个 (N) 是不一样的，不存在某个 (N) 和每一个 (\varepsilon > 0) 对整个区间上的 (x) 都成立。
1.3 举例说明
我们设这个函数序列 (f_n(x) = x^n)，其示意图如图 1.3.1 所示。
我们看到，这个函数序列的逐点收敛极限为 (f(x) = 0)。当我们固定下第一个 (x) 值和 (\varepsilon > 0) 时，(N = 3) 就足够大，(n \geq 3) 之后的每一个 (f_n(x)) 在这一点的函数值与 (f(x) = 0) 的距离都小于 (\varepsilon)。接下来，我们换一个 (x) 值，将取值向 (x) 轴正方向前移一个位置，在这个位置，(N = 3) 已经不满足要求了，在这个 (x) 值处，函数值与 (f(x) = 0) 的距离大于 (\varepsilon)，这时候，要取 (N = 4) 才能满足要求。也就是说，(N) 的取值既受限于 (x)，也受限于 (\varepsilon)，并不存在一个 (N) 对于取定的 (\varepsilon) 对所有 (x) 都成立（一致收敛例外）。从函数序列的图像的直观性上来讲，函数序列图像之间随着 (x) 的变化其间距变化幅度较大，不一致。
2. 一致收敛(Uniform Convergence)
2.1 一致收敛定义
定义(判别法)：令 ({f_n(x)}) 为 (A) 上的一个函数序列，(f(x)) 为一个函数。若对于任意 (\varepsilon > 0)，都存在一个 (N \in \mathbb{N})，使得只要 (n \geq N)，则对于所有的 (x \in A)，都有
[
|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon
]
则称函数序列 ({f_n(x)}) 在 (A) 上一致收敛于函数 (f(x))。
2.2 对一致收敛的理解
根据一致收敛的定义，(N) 的取值仅与 (\varepsilon) 有关，而与 (x) 无关。当我们取定了一个 (\varepsilon) 之后，就可以找到这么一个 (N) 值，在这个值之后的所有 (f_n(x)) 项，对于所有的 (x) 值，其函数值与极限函数的距离都在 (\varepsilon) 范围内。从直观上来看，这个 (N) 值之后的所有序列函数，其图像之间的间距变化幅度一致，总是在一定的范围内变化。
2.3 举例说明
我们设这个函数序列 (f_n(x) = x + \frac{1}{n})，其示意图如图 1.3.2 所示。
我们看到，这个函数序列的一致收敛函数为 (f(x) = x)，根据逐点收敛定义，首先它是逐点收敛的。而根据一致收敛定义，它是一致收敛的。当我们取定了一个 (\varepsilon) 值之后，就能找到这么一个 (N) 值，(n \geq N) 之后的所有函数序列对于有的 (x)，它们与其极限函数之间的距离都小于 (\varepsilon)。也就是说，(N) 的取值仅于 (\varepsilon) 有关，与 (x) 取值。任意取定一个 (x) 之后，函数序列总是在某一项之后能满足对于所有的 (x) 取值，其与极限函数的距离都小于这个 (\varepsilon)。这些函数序列图像之间的距离在一定范围内变动，不会无限变大，一致。