麦克斯韦速度分布律：理想气体分子速度分布的统计规律

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麦克斯韦速度分布律是19世纪物理学的重要理论成果之一，由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1859年提出。该理论描述了理想气体分子在平衡态下的速度分布规律，是统计物理学和分子动理论的基础。本文将详细介绍麦克斯韦速度分布律的定义、历史背景、数学表达式及其物理意义，并探讨其在现代物理学中的应用和局限性。

定义

分子动理论认为，气体系统内大量分子无规则热运动导致分子之间频繁地相互碰撞，分子以大小不同的速率向各个方向运动，在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量，使每一分子的速度不断变化。处于平衡态的气体，每个分子瞬时速度的大小、方向都在随机地变化，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。

示意图

历史

1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。因此，它也以詹姆斯.麦克斯韦和路德维希.玻尔兹曼命名。处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少，但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，气体分子间相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间υ～υ+dυ内的分子数与总分子数的比率。

内容

在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v~v+dv的分子数占总分子数的比率为：

比率方程

麦克斯韦速率分布函数：

分布函数

其中m为一个气体分子的质量，k为玻尔兹曼常量，T为系统的热力学温度，e为自然对数的底。

速率分布函数

按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分子按速率的分布规律。

1. 将速率从0→∞分割成很多相等的速率区间。
   例如速率间隔取100m/s ，整个速率分为0—100；100—200；…等区间。

2. 总分子数为N，在v→v+△v区间内的分子数为△N
   在v→v+△v区间内的概率为△Ni/N。则可了解分子按速率分布的情况。

3. 概率
   （1）△Ni/N与v有关，不同v附近概率不同。
   （2）△Ni/N与△v有关，速率间隔大概率大。

4. v→dv速率间隔很小，
   该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率dN/N∝dv写成等式
   f(v)=dN/Ndv
   表示分布在v→v+dv区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）

速率分布函数的物理意义

表示在速率v附近，单位速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。

在v→v+dv区间内的分子数为dN=Nf(v)dv
在v1→v2有限区间内的概率为
由于全部分子百分之百地分布在由0→
的整个速率范围内，
取v1=0，v2→
，则有上式等于1
速率分布函数

意义

1920年O.斯特恩最先用原子束（分子束）实验直接验证了麦克斯韦速率分布律的正确性。从麦克斯韦速率分布函数出发，可以求出气体分子的最可几速率、均方根速率和平均速率。

最概然速率
最概然速率是系统中任何分子最有可能具有的速率，对应于的最大值或众数。要把它求出来，我们计算速率分布函数的导数，设它为零，然后对它求解：
得出：
其中R是气体常数，M=NAm是物质的摩尔质量。
对于室温（300K）下的氮气（空气的主要成分），可得
=422m/s。

平均速率
平均速率是速率分布的数学期望值：

方均根速率
方均根速率vrms是速率的平方的平均值的平方根：

三种典型速率的关系
它们具有以下的关系：
1872年，玻耳兹曼创立了系统的气体输运理论，从研究非平衡态分布函数着手，建立了H定理（见统计物理学）。玻耳兹曼根据H定理证明，在达到平衡状态时，气体分子的速度分布趋于麦克斯韦分布。

应用

麦克斯韦速率分布律形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。麦克斯韦速率分布律通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。

麦克斯韦速率分布律可以用统计力学来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计）。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦速率分布律提供了气体状态的非常好的近似。

在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦速率分布律，就会得到错误的结果。另外一个不适用麦克斯韦速率分布律的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦速率分布律。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦速率分布律不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。

还应当指出，麦克斯韦速率分布律只适用于处在平衡态的气体；对于处在非平衡态的气体，麦克斯韦速率分布律并不适用；对少量分子组成的系统，也不存在麦克斯韦速率分布律这样的统计规律。尽管速率分布函数不能提供单个分子的详细信息，但它是非常有用的。借助它，我们可以计算出分子的平均速率及方均速率，从而计算出系统的宏观量，如温度或压强。