深入理解动态规划:从入门到精通
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深入理解动态规划:从入门到精通
引用
CSDN
1.
https://blog.csdn.net/2302_77582029/article/details/146291539
动态规划(Dynamic Programming, DP)是解决复杂问题的一种高效方法。它通过将问题分解为子问题,并保存子问题的解,避免重复计算,从而提高效率。本文将详细介绍动态规划的基本思想、实现方法、优化技巧以及典型应用场景,帮助读者从入门到精通动态规划。
动态规划的基本思想
定义
动态规划是一种通过将问题分解为子问题,并保存子问题的解,避免重复计算的算法设计方法。
适用条件
- 最优子结构:问题的最优解包含子问题的最优解。
- 重叠子问题:子问题之间存在重叠,可以复用解。
示例
以斐波那契数列为例:
- 问题:计算第n个斐波那契数。
- 子问题:计算第(n-1)和第(n-2)个斐波那契数。
- 重叠子问题:计算第(n-1)个数时需要计算第(n-2)个数。
动态规划的实现
以下是动态规划的经典问题——斐波那契数列的C++实现代码。
代码实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int fibonacci(int n) {
if (n <= 1) return n;
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
int main() {
int n = 10;
cout << "斐波那契数列第 " << n << " 项: " << fibonacci(n) << endl;
return 0;
}
代码解析
- 状态定义:dp[i]表示第i个斐波那契数。
- 状态转移方程:dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。
- 初始化:dp[0] = 0,dp[1] = 1。
- 空间优化:可以使用两个变量代替数组,减少空间复杂度。
动态规划的典型应用
背包问题
- 0-1背包问题:每个物品只能选择一次。
- 状态转移方程:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])。
- 完全背包问题:每个物品可以选择多次。
- 状态转移方程:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])。
最长公共子序列(LCS)
- 问题:求两个序列的最长公共子序列。
- 状态转移方程:
- 如果s1[i-1] == s2[j-1],则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
- 否则,dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
最短路径问题
- Floyd-Warshall算法:求所有节点对之间的最短路径。
- 状态转移方程:dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])。
编辑距离
- 问题:求将一个字符串转换为另一个字符串的最小操作次数。
- 状态转移方程:
- 如果s1[i-1] == s2[j-1],则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。
- 否则,dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。
动态规划的优化
空间优化
- 使用滚动数组或变量代替二维数组,减少空间复杂度。
- 示例:斐波那契数列的空间优化。
int fibonacci(int n) {
if (n <= 1) return n;
int prev2 = 0, prev1 = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
int curr = prev1 + prev2;
prev2 = prev1;
prev1 = curr;
}
return prev1;
}
状态压缩
- 使用位运算或其他技巧压缩状态表示,减少空间复杂度。
- 示例:旅行商问题(TSP)的状态压缩。
记忆化搜索
- 使用递归和记忆化技术实现动态规划,避免显式定义状态转移方程。
- 示例:斐波那契数列的记忆化搜索。
int fib(int n, vector<int>& memo) {
if (n <= 1) return n;
if (memo[n] != -1) return memo[n];
memo[n] = fib(n - 1, memo) + fib(n - 2, memo);
return memo[n];
}
动态规划的总结
动态规划是一种强大的算法设计方法,适用于具有最优子结构和重叠子问题的问题。通过理解其原理、实现方法和优化技巧,我们可以更好地应用它解决实际问题。无论是背包问题、最长公共子序列还是最短路径问题,动态规划都发挥着重要作用。
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