普林斯顿数学三剑客带你深入了解分析学

普林斯顿数学三剑客带你深入了解分析学

分析学是数学的重要分支，专注于函数、极限、连续性、微分和积分等概念的研究。它不仅为其他数学领域提供了基础，还在物理学、工程学等多个学科中发挥着关键作用。普林斯顿数学三剑客——《普林斯顿数学分析读本》、《普林斯顿微积分读本》和《普林斯顿概率论读本》，是深入理解分析学各分支的理想指南。无论是初学者还是进阶学者，这套书都能提供全面的知识框架和实用的学习路径。

《普林斯顿数学分析读本》

《普林斯顿数学分析读本》由拉菲·格林贝格（Raffi Grinberg）撰写，是学生遇到的第一门讲究严格性的数学课程的理想教材。实分析是学生遇到的第一门讲究严格性的数学课程。所谓严格性就是必须时时处处按照逻辑规则来思考、来计算、来表述。对于大多数学生，这是他从未经历过的事。所以，这本书给读者的第一个建议是 慢慢来：慢慢读，慢慢写，并仔细思考。
本书作者说，你是一个非常聪明的学生。实际上，作者的经验说明：他的学生时常觉得自己很不错，能够考上这样一所好大学，心里一直有些自得；他不知道自己面前有哪些困难，有些东西（例如）曾听高班的学兄、学姐说过，所以容易掉以轻心，不大在乎。实际上，这会是他遇到的第一只拦路虎：到底是先有还是先有，和是不是一回事，应该用哪一个，甚至应该用（这当然是错误的）也未可知。
有些学生还可能有另外的知识来源，例如从某些学术讲座里听到过刘徽的名言：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”他们会以为这就是极限理论。这些学生大多是好学生，甚至被说成是“学霸”。（我很厌恶这个称呼，无非多考了几分，有什么可霸的呢？何况他们多数很好学求上进。）
问题在于按这本推荐的书（以后就简称为“本书”），刘徽的说法是很含糊的。刘徽讲的“以至于不可割”，这个“不可割”究竟是什么？他说“与圆合体而无所失矣”，合体显然是指重合、一模一样、没有区别，但是“无所失矣”又是什么意思？让学过微积分的人理解，这个“不可割”应该说就是一个无穷小。但是我们都知道一句著名的话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”所以无穷小也应该可以分割，这显然与“不可割”矛盾。如果说这个“不可割”就是零，那么请注意了，刘徽这里是在讲圆的分割，把一个圆平分一次得到两个扇形（也就是半圆），再分下去，分割次（是正整数）就会得到个扇形，每个扇形的圆心角是，想要圆心角是零，就得分无穷多次。
请注意了，在中国古代数学中，从没有见到过无穷大、无穷小之类的名词，也没有无穷这个概念。所以，不管怎么说都是说不清楚的。当然，刘徽是公元3世纪的人，希望他能够达到将近两千年后的今天的水平是不应该的。但是本书的目的，是让今天的大学生，能够按今天的认识水平来理解这些问题，以今天的方式和语言来表述这些问题，特别是，还能最后参与到推进现代数学的事业中去，其困难可想而知。
下面我们举一个例子来看本书是怎样帮助学生们能够达到上述要求的。这个例子是本书留给读者的一个习题，希望读者自己证明关于并集和交集的性质的定理（即定理3.12）。下面这一段抄录于本书第20页。
这是一个填空题，要求学生做到：只利用原书讲过的概念和符号，在符合原书所有的规定下把这些空白填满，证明集合论中的一个定理。
这样说来，原来书名中的救生员（lifesaver）宁可解释成一个游泳教练，他的任务是带出一批优秀的运动员，到各种比赛中去大显身手。于是，他就把（例如）自由泳的动作分成用脚踏水、用手划水、侧身换气等各个部分，分别列出其要领和标准，让学生们一个一个认真去做，不准偷懒，不准马虎。只有学生们能熟练准确地做到这一切，才有可能成为优秀的游泳运动员。人们时常谈论游泳的天赋，只有达到这个地步，天赋才可能表现出来，并且得到进一步的培养。而要达到这个地步，必须假以时日。
这虽然是在讲游泳，学好实分析这门课程也必须这样做。正因为如此，本书强调慢慢来：慢慢读，慢慢写，并仔细思考。这也是本书对于基础课教学的主张。近年来似乎有一种论调，认为基本功不再重要了，把强调基础与强调创新对立起来。
本书中译本书名强调了这是普林斯顿的教材，普

《普林斯顿微积分读本》

《普林斯顿微积分读本》由阿德里安·班纳（Adrian Banner）撰写，通过大量有解的练习题和详细解答，帮助读者掌握微积分的核心概念。书籍以轻松通俗的方式，通过大量已有答案的问题来传授知识和数学思想。在了解标准陈述和证明的同时， 你还将看到很多现成的例子以及关于如何研究定理的大量讨论. 学习一门课程的最好方法就是亲手实践. 求解问题是这门课的一个重要部分, 但遗憾的是这部分内容通常会因为课时有限而被删除; 然而这并不意味着学好这门课仅仅是求解出问题的答案, 它还要求我们理解证明过程.

《普林斯顿概率论读本》

《普林斯顿概率论读本》由史蒂文·J. 米勒（Steven J. Miller）撰写，通过大量有解的题目和理论探讨，帮助读者掌握概率论的核心概念和技巧。书籍既可作为教材补充，也可作为独立教材使用，适合不同层次的学习者。概率论是一门涉及面非常广的学科. 它的应用相当广泛, 既可以应用于纯数学领域, 有时也会被一些职业赌徒利用. 任何一本书都无法涵盖概率论的所有应用. 不管是本书还是你上课使用的教材, 都不会把全面论述概率论的应用作为目标. 通常情况下, 教材会介绍一些一般性的理论和技巧, 并叙述概率论的若干应用和相关扩展阅读. 为了帮助教师更好地规划课程, 教材的最后通常会给出几章高阶内容.
《普林斯顿概率论读本》既可以作为任何一本经典入门教材的补充材料, 也可以作为主要教材来使用, 因为它通过大量有解的题目以及对一般性理论的探讨来阐释概率论这门课. 我们会分析一些奇妙的问题, 并从中提炼出一些常用的技巧、观点和方法. 这样做的目的是让你学会独立完成模型的构造并解决相关问题, 进而断定什么样的问题才值得研究.
首先, 与阿德里安·班纳的《普林斯顿微积分读本》类似, 本书给出了大量有解的练习题. 在查阅答案之前, 你最好先看一看这些题目并花些时间做一做; 而本书也会给出所有题目的完整解答. 与很多书不同的是, 我们不会只给读者证明和例子, 而不给出具体的细节; 我建议你先试着做一下题目, 当有问题时再去查看相关细节.
其次, 概率论中的证明要比微积分中的证明多很多, 而这不应该让你感到吃惊. 学生通常会认为概率论在理论上的证明是极具挑战的, 而本书的主要目的就是帮助他们渡过这个难关. 整个附录A都在阐述证明技巧, 通过学习这部分内容, 你的证明技能会得到很好的锻炼和提升. 另外, 对于那些出现在概率论课上的典型结论, 其中绝大部分的完整解答都能在本书中找到. 如果你(或者你所学的课程)并不关心证明, 那么可以跳过其中很多论证, 但你至少应该浏览一下这部分内容. 尽管证明通常都很难, 但理解一个证明并不像给出一个证明那么困难. 进一步说, 在通常情况下, 我们只看证明过程就能理解定理想要表达的是什么, 或是知道该如何去运用它. 我的目的并不是给出结论的最简短证明, 而是通过细致的叙述来与你共同探讨如何去思考问题以及怎样着手证明结论. 此外, 在证明结论之前, 我们通常会花费大量时间去考察特殊情况, 这样就能对题目有直观的了解. 这是极其宝贵的技巧, 对你将来学到的很多课程都会有帮助. 最后, 我们会频繁讨论如何编写和执行代码来检验我们的计算结果是否正确, 或者让我们对答案有一定的认识. 如果想在 21 世纪的劳动大军中获得竞争优势, 那么你必须具备编程和模拟的能力. 能够写出一个简单的程序来模拟某个问题的100万种可能情况对我们来说是非常有用的, 这些结果通常会提醒你留意那些被遗漏的因素或其他错误.
如何使用本书
本书可以帮助你学习和探索概率论. 它既可以作为任何一本概率论入门读物的补充材料, 又可以单独作为基础教材来使用(对于那些想把本书当作教材的教师, 如果需要习题和考试中的部分关键解答, 请发电子邮件给我, 地址在这部分内容的最后). 正如你在学习过程中将会看到的那样, 概率论是一门涉及面非常广的学科, 它有大量的应用、技巧和方法. 这会让人感到既兴奋又恐惧. 让人兴奋的是, 你会发现许多奇怪的关联和貌似困难的问题, 但是只要按照正确的思路去考察它们, 就会变得简单起来. 让人恐惧的是, 它所包含的内容实在是太多了.
我的目标是帮助你尽情地畅游于这片知识的海洋中, 并为下一步学习做好准备. 本书的呈现方式深受阿德里安·班纳的成功著作《普林斯顿微积分读本》的影响. 就像那本书一样, 本书的目的是以轻松通俗的方式, 通过大量已有答案的问题来传授知识和数学思想. 在了解标准陈述和证明的同时, 你还将看到很多现成的例子以及关于如何研究定理的大量讨论. 学习一门课程的最好方法就是亲手实践. 求解问题是这门课的一个重要部分, 但遗憾的是这部分内容通常会因为课时有限而被删除; 然而这并不意味着学好这门课仅仅是求解出问题的答案, 它还要求我们理解证明过程.
为什么证明如此重要？在本书中, 我们将会看到一些叙述合理却被证明是错误的例子. 数学家会利用语言和证明的形式化来防止这些错误出现. 此外, 即使课程不要求你掌握证明, 了解某些命题为何成立也是很有意义的. 虽然并不要求你最终独立地写出完整的证明, 但能实现这个目标也是很不错的. 为了帮助你学习, 我们将花费大量时间来讨论为什么要按照某种思路去证明, 以及题目中的哪些线索会告诉我们应当采用何种方法来求解, 而非另外一种. 通过强调这些理念, 希望你能更深刻地感知定理为什么成立, 并为更好地使用它们做好准备, 还希望你能在将来的学习中独立完成对结论的证明.
下面是关于本书以及如何使用它的一些常见问题和解答.
在阅读本书之前, 我需要哪些预备知识　你应当熟知代数学以及微积分的学前知识, 并能自如地应用它们. 与其姊妹篇《普林斯顿微积分读本》不同, 本书想要补充的(或者说本书打算讲的)内容会更加多样化. 有些概率论课程不涉及任何微积分知识, 但其他一些课程建立在实分析和测度论的基础之上, 又或者是一些半概率半统计的课程. 我们已经试着尽可能减少对微积分知识的需求, 尤其是在那些介绍性章节中. 但这并不表示这些章节会更加简单——远

这三本书籍与大学数学课程设置相辅相成，能够帮助学生建立完整的分析学知识体系。根据[[6]]中的课程设置信息，数学与应用数学专业的课程通常包括基础课程、专业基础课程、专业课程、专业特色课程和实践课程。《普林斯顿数学分析读本》适合在学习实变函数、复变函数等专业基础课程时使用；《普林斯顿微积分读本》则适用于数学分析等基础课程的学习；而《普林斯顿概率论读本》则可以在学习概率论与数理统计等课程时作为参考。

这套书籍适合不同层次的学习者。对于初学者而言，书籍通过大量有解的题目和详细解答，帮助他们掌握基本概念和技巧。对于进阶学者，书籍深入探讨理论和证明，帮助他们进一步深化理解。此外，书籍的写作风格轻松通俗，能够激发读者的学习兴趣。

普林斯顿数学三剑客是深入理解分析学各分支的理想指南。无论是初学者还是进阶学者，这套书都能提供全面的知识框架和实用的学习路径。通过这些权威读物，你可以掌握实分析、复分析、泛函分析、微分方程、数值分析和概率论与数理统计等领域的核心概念和发展历程，为你的学术和职业发展奠定坚实基础。