考研数学冲刺：搞定级数收敛难题

考研数学冲刺：搞定级数收敛难题

随着考研倒计时的临近，许多考生正在紧张备战数学考试。其中，级数的收敛与发散问题是历年考试的重点难点之一。掌握级数收敛的基本原理不仅能帮助大家顺利通过考试，还能为进一步的学术研究奠定基础。本文将详细介绍级数与部分和的关系、级数与数列的收敛关系以及正向级数与非正向级数的特点等内容，助力各位考生攻克这一难关。

级数的收敛与发散是数学分析中的重要概念，主要研究无穷级数的行为特性。一个级数如果其部分和序列存在极限，则称该级数收敛；如果级数的部分和序列没有极限或者趋于无限大，则称该级数发散。

• 正项级数判别法：
  • 比较判别法、比值判别法（达朗贝尔判别法）、根值判别法（柯西判别法）等。
• 任意项级数判别法：
  • 莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法等。

• 线性性质：两个收敛级数可以逐项相加或相减。
• 与数列的关系：若级数收敛，则其通项构成的数列必收敛于0；但数列收敛于0并不保证级数收敛。

求这种常数项级数，我们可以先求相应的幂级数，然后求幂级数在这个点的值，就是常数项级数的值。

第一步：找出对应的幂级数

把（ ）看成一个整体，这样我们可以直接求 在x= 处的值。

第二步：拆解因式分别求两个因式的值

拆解因式：

求第一个因式： ，这里可以看成 的形式
所以这里我们要用到这个结论：

因为这里n是从2开始的，我们要先判断是否添一些值，将n=2带入式子中得到x，结论里展开的第一项也是x所以不用增数据项。

这里n-1和n没区别，我们直接带入公式得到：

求第二个因式 ，这里我们同样给他变形成 的形式：可以看到这里是从n=2开始的，展开第一项是 ，是从 开始的 ,而 ， 相比这下少了 这两项，所以我们带入公式后要减掉这两项。

第三步：求和函数（普通计算）

第四步：最后把 带入计算

知识点总结：

1.积累公式：

2.n不一致时，要看看是两边展开式是否一致来决定是否需要添或者减项。

3.求这种常数项级数，可以先求相应的幂级数，然后求幂级数在这个点的值，就是常数项级数的值。

例题：求级数 的和。

解：首先，我们注意到这是一个常数项级数，可以尝试将其转化为幂级数求解。

令 ，则原级数变为

我们知道幂级数 的和函数为 ，因此

将 代入上式，得到

因此，原级数的和为 。

为了更好地掌握级数收敛的相关知识，建议考生参考以下教材和习题集：

1.《数学分析精读讲义》（华东师大数学分析第3版）
2.《数学分析辅导及习题精解》（华东师大第五版）
3.《吉米多维奇数学分析习题集》
4.《数学分析中的典型问题与方法》（第3版）
5.《考研数学分析总复习》（精选名校真题）

通过大量练习和真题解析，加深对级数收敛的理解和掌握解题技巧。

级数收敛是考研数学中的重要考点，掌握其基本概念、性质和解题技巧是取得高分的关键。通过系统学习和大量练习，相信各位考生一定能够攻克这一难点，取得理想的成绩。加油！