群论基础：抽象代数的核心概念与科学应用

群论基础：抽象代数的核心概念与科学应用

抽象代数是现代数学的一个重要分支，它研究各种代数结构，如群、环、域等。这些结构在物理学、化学、密码学等领域有着广泛的应用。本文将带你走进抽象代数的世界，从最基础的概念开始，逐步揭示这些结构的奥秘。

代数的历史渊源

代数的根源可以追溯到多项式的研究。最早的多项式证据可以追溯到公元前1800年的古巴比伦。有一块来自这一时期的泥板，被称为普林普顿322，它包含了一系列的毕达哥拉斯三元组！

这块泥板确实包含了一些错误，但巴比伦人能够仅凭基本符号解决如此多的问题仍然令人赞叹。提醒一下，毕达哥拉斯三元组是一组满足以下方程的三个数字：

一个基本的毕达哥拉斯三元组例子是(3,4,5)。这个概念来源于古希腊数学家毕达哥拉斯，他将其应用于直角三角形的边长。巴比伦人在那之前就知道这个方程（尽管他们可能没有将其应用于三角形）是非常了不起的。

代数的一个重大发展是符号表示法。早期的数学家用纯文字描述方程。一个方程会被描述为“某物加二等于三”。这显然比符号表示法要繁琐得多，但直到大约16世纪，我们今天使用的符号表示法才被充分使用，即便如此，它的普及还需要一些时间。

基础知识

抽象代数中的每个结构都被描述为一组对象和可以在集合内对对象进行操作以产生新对象的操作。根据这些集合和操作满足的不同限制，我们最终得到了特定类型的结构。

原群（Magma）

最基本的代数结构被称为原群。它有一组对象和一个单一的二元运算。如果运算是二元的，这意味着它接受集合中的两个对象作为输入并产生单一输出。唯一的要求是这个运算是封闭的，这意味着二元操作的输出也是一个在集合中的对象。

群（Groups）

在原群和群之间存在着许多复杂性不同的结构，但群是非常常见且有用的结构，所以我们直接跳到它们。我们像定义原群一样定义群，有一组和一个单一的二元运算，但有一些额外的限制。

• 恒等元素：必须有一个对象充当所有其他元素的“恒等元素”。这个元素通常被标记为e。恒等元素必须满足以下关系，对集合中所有对象都适用：

  在常规代数中，加法运算下的恒等元素是0，乘法运算下的恒等元素是1。

• 结合律：这个规则对于任何学过基础代数的人来说都很熟悉。结合律基本上说的是执行运算的顺序并不重要。它可以表达如下：

• 逆元素：这通常是最难满足的限制。它要求每个元素都有一个“逆元素”，使得运算作用于一个元素及其逆元素时，得到恒等元素。每个元素可以有一个不同的逆元素，它只需要存在。

这些是创建一个代数群必须满足的三个属性。每个群都是一个原群，但不是每个原群都是一个群。这是因为群比原群有更多的限制。在群的定义中有一些不出现的限制可能会让你感到惊讶，比如交换律（这意味着对所有元素，a ● b = b ● a）。如果有这个属性，那么群就变成了一个阿贝尔群（abelian group），它有自己的一套特殊用途。

群的应用

群可以创建一些精彩的图片。有许多不同的方式来可视化一个群，但请参见下面的Fr(20)的循环图。

群论之所以重要，是因为它定义了一组对称性。这些对称性规则在物理学和化学中极其重要，为科学家们提供了许多有用的定理来研究。这些定理允许粒子物理学家在某些粒子被发现之前就预测它们的存在！群论对于密码学也很重要，因为它告诉我们哪些数学运算是“快速”解决的。

当然，我们可以定义大量不同的结构。可以设置许多类型的不同限制。我们也可以定义多个运算而不仅仅是一个，甚至是一个需要超过两个输入的操作！一些结构也不仅仅有一个集合。

抽象代数是数学中一个庞大的领域。本文仅仅触及了它的一些基础知识。