麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's Equations），或称麦克斯韦-亥维赛方程组（英语：Maxwell-Heaviside Equations），是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。该方程组由四个方程组成，分别是描述电荷如何产生电场的高斯定律、表明磁单极子不存在的高斯磁定律、解释时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律，以及说明电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。麦克斯韦方程组是因英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦而命名。麦克斯韦在19世纪60年代构想出这方程组的早期形式。麦克斯韦方程组与洛伦兹力公式一起组成了经典电动力学的最基本原理，他们可以导出经典电动力学的所有结论。

1820年奥斯特发现电流的磁效应，导致安培提出磁棒的分子电流假说，把“电”和“磁”统一了起来。这是电磁学里一次伟大的统一。麦克斯韦的理论是把“电磁”和“光”统一了起来，其历史意义更为深远。

麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，后来被赫兹的实验证实。麦克斯韦方程组给出了真空中电磁波的传播速度等于光速，与参考系无关，这催生了狭义相对论的产生，其中光速不变原理在1887年被迈克尔孙-莫雷实验所检验。同时，麦克斯韦方程组和相对论是自洽的。

概览

真空中的麦克斯韦方程组的微分形式具有如下形式：

其中，

• 是电场强度，
• 是磁感应强度，
• 是电流密度，
• 是真空电容率，
• 是真空磁导率。

对应的积分形式是：

微分形式与积分形式之间可以通过高斯公式和斯托克斯公式相互转换。

在电介质中，麦克斯韦方程组的微分形式具有如下形式：

对应的积分形式是：

其中，

• ，
• ，
• ，
• 是自由电荷密度，
• 是极化电荷密度，
• 是传导电流密度，
• 称为诱导电流密度，它又包含极化电流密度
• 和磁化电流密度
• 两部分。辅助矢量
• ，
• 。

发展简史

在法拉第时期，电场的高斯定理，静电场的环路定理，磁场的高斯定理，安培环路定理，法拉第电磁感应定律已经建立，人们认为电磁场基本规律的了解已经基本完成。当麦克斯韦把已有的电磁规律用几个方程式表达出来以后，发现其中有矛盾，只有加上他称之为“位移电流”的一项，方程式才是彼此相容的。然而就这一项“位移电流”，却导致了另一项非常重大的发现——电磁波。

其他形式

四维势

由于麦克斯韦方程组中的：

可以引入四维势：

其中：

，对于给定的电磁场，四维势的选择不是唯一的，它们具有规范不变性：将，其中是坐标和时间的任意函数，作用量（见“作用量”一节）将出现一个附加项，但是，将一个全微分加在作用量积分的被积函数内，运动方程并不受影响，所以和描述同一个电磁场。

因为四维势缺乏唯一性，就有可能去选择它们，使它们满足所选择的附加条件。强调指出，能够令它们满足一个条件，这是因为可以任意选择。特别而言，总能这样选择势，使得标量势为0。假如矢势不是0，那么，一般来说，不可能使它为0，因为条件表示三个附加条件（即的三个分量为0）。

常用的规范有库伦规范：

以及洛伦兹规范：

再引入四维电流矢量：

如果采用洛伦兹规范，将得到：

它是洛伦兹协变的。

张量形式

定义电磁场张量：

麦克斯韦方程组有如下形式：

第二个方程也可以写成：

作用量

电磁场的作用量具有如下形式：

其中，在利用最小作用量原理来推导场方程时，应当认为电荷的运动是已知的，而只变分势（这里看作系统的“坐标“）；另一方面，在推导运动方程时，又认为场是已知的，而只变分粒子的轨道。

所以上式中第一项的变分是0，而在第二项中，不能变分电流，因此，（式中已经利用了这个结果）。将代入，就得到：

在第二项中，将指标µ同ν交换，其中µ，ν是求和指标，此外用于是得到：

将第二项作分部积分，换句话说，就是应用高斯定理：

在第二项中，应当取它在积分限上的值。坐标的积分限是无穷远处，在无穷远处的场为0。在时间的积分限上，就是在给定的初时刻与末时刻，势的变分为0，因为按照最小作用量原理的意思，势在这两个时刻是给定的。因此，上式的第二项为0，从而得到：

因为按照最小作用量原理，变分是任意的，所以的系数应当等于0：

用电磁场张量的定义：

很容易验证：

即：

推广

可以将麦克斯韦方程组推广到弯曲时空。在弯曲时空中，要将dΩ变为不变体元，电磁场的作用量变为：

可以利用变分法导出弯曲时空中的麦克斯韦方程组。为了简便起见，可以将所有的微分都变成协变微分。显而易见，电磁场张量现在必须相应地定义为：

（其中分号代表协变导数）

由于协变微分的性质，有：

因此，和势的关系不改变，于是依然有：

另外一对方程，可以将微分替换为协变微分，得到：

详细推导参照参考文献p284

能动张量

对于作用量为的场，能动张量满足下式：

详细推导参照参考文献p301

对电磁场情形，

所以电磁场的能动张量的表达式在曲线坐标系中应当写成下面的形式：

它满足守恒律：

在直线坐标系中，，能流密度也称为坡印亭（Poynting）矢量。如果不考虑弯曲时空，同样可以给出能动张量的推导过程，详见参考文献p90

应用

推迟势

由于四维势满足：

它的解为：

其中，，,是去掉“源”之后齐次波动方程的解。

式中，，，R是从体积元dV到所求势的“观察点”的距离。

带电粒子辐射

一个点电荷沿着轨道进行给定的运动，求它产生的场的势。

按照推迟势的公式，时刻t在观察点的场，由电荷在较早时刻t’的运动状态决定，光信号从电荷所在点传播到观察点P的时间正好与差一致。令为电荷e到点P的矢径；像一样，它是时间的给定函数。于是时刻t’由如下方程决定

对于每个t值，这个方程只有一个根t’。

定义：

经过一系列计算，得到所要求的四维矢量是：

其中，是电荷的四维速度，四维速度定义为，相应四维加速度定义为。在方程右边的所有的量都必须取在t’时刻的值。上式也被称为李纳-维谢尔势。

为了从公式，，来计算电场和磁场的关系，需要以下关系：

利用这些公式，计算E及B的运算过程就不难了。略去中间的计算过程，得到：

可以得到：

正是：

值得注意，磁场无论在何处都与电场垂直。

电场由两个不同类型的部分组成。第一项只依赖于粒子的速度（而不依赖于加速度），且在大距离处像那样变化。第二项依赖于加速度，且对于大的R像那样变化，与粒子辐射的电磁波有关。

平面电磁波

真空中的麦克斯韦方程组具有如下形式：

采用洛伦兹规范：

引入四维波矢：

得到一组解：

这里是从任意复常矢量，且，根据洛伦兹规范条件，有。

代入，，得到：

于是可以得到：

（1）真空中的电磁波是横波，电场强度E和磁感应强度B都与波矢k垂直。

（2）电场强度E与磁感应强度B垂直。

（3）电场强度E和磁感应强度B同相位，并且在任何时刻，任何地点，的方向总是沿着传播方向k的。

（4）E和B的振幅成比例

（5）真空中电磁波的传播速度为c。

电磁波的图像如图所示：

局限

经典电动力学应用到微观领域虽然可以得到一些有用的结果，但也遇到严重的困难。分析理论与实验的矛盾可以看出，经典电动力学在微观领域受到局限的主要原因在于，它对带电物质的描述只反应其粒子性的一面，而对电磁场的描述则只反应其波动性的一面。事实上带电粒子具有波动性，而电磁场也具有粒子性。只有在带电物质主要显示出粒子性而电磁场主要显示出波动性的情况下，经典电动力学的计算结果才能近似地反映客观实际。在原子内部，电子的波动性明显，必须用波函数而不是用经典轨道来描述电子的运动状态，因此在这范围内经典电动力学是不适用的。当电磁场的粒子性显著时，如辐射的高频端行为和光电效应等问题时，经典电动力学也是不适用的。

在量子理论中，把电磁场的麦克斯韦方程组量子化后，发展为量子电动力学。目前量子电动力学对各种物理过程的理论计算和实验结果在很高精度下相符，表明它有反映客观规律正确性的一面。但是它仍有一些基本困难没有解决。一个主要困难是它从点模型出发，没有触及电子的内部结构问题，因而对一些物理量（如电子自能和电磁质量）的计算结果为无穷大。只是在绕过这些困难后量子电动力学的计算结果才与实验相符。

人们已经发现，电磁相互作用和弱相互作用（如引起原子核β衰变的相互作用）是有密切联系的，实验上确立了这两种相互作用的统一性，它们为弱电相互作用，理论上用养-米尔斯（Yang-Mills）规范理论描述。电磁场是更广的规范场的一部分。而弱电相互作用又可能是更大范围的一种统一的相互作用的一部分。

人类对物质及其运动的认识是不可穷尽的。在不断实践中，关于电磁场的理论也将不断地深入发展。