中考数学必备：角平分线模型大揭秘

中考数学必备：角平分线模型大揭秘

在初中数学的几何世界里，角平分线模型是一个非常重要的知识点，也是中考数学中的常考题型。掌握好角平分线模型，不仅能帮助我们快速解题，还能在考试中拿到关键分数。今天，就让我们一起来揭秘这个神奇的几何模型吧！

在开始之前，我们先来复习一下角平分线的基本性质：

1. 定义：角平分线是将一个角分成两个相等的角的射线。
2. 性质：
   • 角平分线上的点到角两边的距离相等。
   • 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。

当题目中出现角平分线时，我们常常可以通过构造轴对称图形来解决问题。具体方法是：以角平分线为对称轴，在角的两边构造对称点或对称图形，从而形成全等三角形。

例题1

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，EF⊥AD于F，交AB于M，交AC的延长线于N。求证：BM=CN。

解析：

1. 由于AD是角平分线，我们可以考虑以AD为对称轴构造对称点。
2. 作点B关于AD的对称点B'，连接AB'、CB'。
3. 由对称性可知，∠BAD=∠B'AD，AB=AB'，∠ABD=∠AB'D。
4. 因为E是BC的中点，所以EB=EC，从而EB'=EC。
5. 又因为EF⊥AD，所以∠EFB'=∠EFC=90°。
6. 于是，△EFB'≌△EFC（HL），所以FB'=FC。
7. 最后，由对称性可知，BM=B'M=B'C=CN。

当角平分线与平行线相遇时，常常可以构造出等腰三角形。这个模型在解题中非常实用，可以帮助我们快速找到相等的线段。

例题2

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。求证：四边形AEDF是菱形。

解析：

1. 由于DE∥AC，所以∠ADE=∠DAC（内错角相等）。
2. 又因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠DAC。
3. 于是，∠BAD=∠ADE，所以AE=DE（等角对等边）。
4. 同理，由于DF∥AB，可以得到AF=DF。
5. 因此，四边形AEDF是菱形（四边相等的四边形是菱形）。

1. 遇到角平分线，优先考虑作垂线：角平分线上的点到两边距离相等，作垂线可以构造出全等三角形。
2. 注意中点的作用：如果题目中同时出现角平分线和中点，可以考虑倍长中线构造全等。
3. 灵活运用平行线：角平分线与平行线的组合常常能构造出等腰三角形，这是解题的关键。

角平分线模型是初中数学几何中的重要工具，掌握好这些模型不仅能帮助我们快速解题，还能培养我们的几何直观和逻辑思维能力。在学习过程中，建议大家多做练习，多总结经验，相信你一定会在中考数学中取得好成绩！