角平分线定理的三种证明方法：面积法、相似形法和正弦定理法

创作时间:

2025-01-22 01:26:25

作者:

@小白创作中心

角平分线定理的三种证明方法：面积法、相似形法和正弦定理法

在几何学中，角平分线定理是一个重要的基础定理，它揭示了三角形内角平分线与对边的关系。该定理指出：在三角形ABC中，如果AD是∠BAC的角平分线，则有BD/DC = AB/AC。这个简洁而优美的定理，不仅在几何证明中频繁出现，还在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、工程测量等。本文将介绍角平分线定理的三种经典证明方法：面积法、相似形法和正弦定理法。

面积法证明

面积法是最直观的证明方法之一，通过构造辅助线和平行线，利用三角形面积的性质来证明定理。

构造辅助线：过点C作CE平行于AD，交BA的延长线于点E。由于CE // AD，根据平行线性质，我们可以得到∠EAD = ∠AEC，∠CAD = ∠ACE。又因为AD是∠A的角平分线，所以∠EAD = ∠CAD。综合以上关系，我们可以得出∠AEC = ∠ACE，因此三角形ACE是一个等腰三角形，即AE = AC。
计算三角形面积：分别计算三角形ABD和三角形ACD的面积。由于这两个三角形拥有共同的顶点A，因此它们面积之比等于底边BD和DC之比，即：
[
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BD}{DC}
]
代入面积公式：将三角形ABD和ACD的面积表示为：
[
S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} BD \cdot AE, \quad S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} DC \cdot AC
]
化简比例关系：将以上两式代入面积比公式，并注意到AE = AC，我们可以得到：
[
\frac{BD}{DC} = \frac{\frac{1}{2} BD \cdot AE}{\frac{1}{2} DC \cdot AC} = \frac{BD}{DC} \cdot \frac{AE}{AC} = \frac{BD}{DC} \cdot \frac{AB}{AC}
]
得出结论：化简后，我们最终得到：
[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
]

相似形法证明

相似形法通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质来证明角平分线定理。

构造相似三角形：通过作平行线或利用已知条件，构造两个相似三角形。例如，过点D作DE平行于AB，交AC于点E，可以得到三角形ADE与三角形ABC相似。
应用相似三角形性质：根据相似三角形的性质，对应边成比例。因此，我们有：
[
\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC}
]
利用角平分线性质：由于AD是角平分线，根据角平分线的性质，我们可以得到：
[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
]

正弦定理法证明

正弦定理法利用三角函数的性质，通过正弦定理和三角形外接圆的性质来证明角平分线定理。

应用正弦定理：在三角形ABD和三角形ACD中分别使用正弦定理，得：
[
\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{BD}{\sin \angle BAD}, \quad \frac{AC}{\sin \angle ADC} = \frac{DC}{\sin \angle CAD}
]
利用角平分线性质：因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD = ∠CAD。又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（对顶角），故sin∠ADB = sin∠ADC。
等量代换与化简：将上述正弦值相等的关系代入，得到：
[
\frac{AB}{BD} = \frac{\sin \angle ADB}{\sin \angle BAD} = \frac{\sin \angle ADC}{\sin \angle CAD} = \frac{AC}{DC}
]
得出结论：化简后，我们得到：
[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
]