数字电子技术基础：逻辑运算及其复合运算详解

数字电子技术基础：逻辑运算及其复合运算详解

数字电子技术是现代信息技术的基础，其中逻辑运算更是数字电路设计的核心。本文将系统地介绍逻辑运算中的三种基本运算（与、或、非）及其复合运算（异或、同或、与非、或非），通过真值表、电路图和软件模拟等多种方式，直观地展示各种逻辑运算的原理和实现方法。

1 三种基本逻辑运算

1.1 与（AND）

如果有两个操作数A和B，必须A和B的条件都满足，结果才为真，其他情况结果为假，那么就是逻辑与，可以写为：

$$Y = A \cdot B$$

在逻辑运算中，用“.”表示逻辑与运算，用“+”表示逻辑或运算，右上角“ ' ”表示逻辑非运算。

写成真值表为：

逻辑与的符号形式：

图1 逻辑与的国际符号形式

或

图2 国内常用的逻辑与符号形式

逻辑与的电路图为

图3 逻辑与的电路图

在上面电路中，当A=1表示开关闭合，A=0表示开关断开，Y=1表示灯亮，Y=0表示灯灭。当A和B均闭合时，灯泡Y亮，当A和B有一个是断开状态时，灯泡Y灭。两个条件必须全部具备，为真的结果才会发生。

1.2 或（OR）

如果有两个操作数A和B，A和B中有一个条件满足，那么结果就为真，如果A和B两个条件均不满足，结果为假，这就是逻辑或，可以写为：

$$Y = A + B$$

写成真值表的形式为：

逻辑或的符号形式：

图4 逻辑或的国际通用符号形式

或

图5 国内常用的逻辑或的符号形式

逻辑或的电路是：

图6 逻辑或的简单电路图

在上面的电路中，A和B有一个处于闭合状态，那么灯泡就亮，如果A和B都处在断开状态，那么灯泡Y灭。

1.3 非（NOT）

如果有一个操作数A，如果输入A为真，那么结果为假，如果输入A为假，那么结果为真。可以写为：

$$Y = \overline{A}$$

写成真值表的形式为：

逻辑非的符号形式为：

图7 逻辑非的国际通用符号形式

或

图8 国内常用的逻辑非的符号形式

逻辑非运算的电路图为：

图9 逻辑非的简单电路图

2 由基本门电路组成的其他门电路

与、或、非三种电路一般称为基础门电路，而其他门电路可以用这三种门电路来组合。

2.1 异或

如果有两个操作数A和B条件相同（都满足或者都不满足），那么结果为假，如果操作数A和B条件不同，那么结果为真。可以写成为：

$$Y = A \oplus B$$

或者写成

$$Y = A' \cdot B + A \cdot B'$$

真值表的形式为：

当A和B的值不相同时（即一个为1另一个为0时），结果为真，当A和B的值相同时（A和B的值同时为0或者同时为1），结果为假。

逻辑异或的符号形式为：

图10 逻辑异或的国际通用符号形式

或

图11 逻辑异或的国内常用符号形式

2.2 同或

如果有两个操作数A和B条件相同（都满足或者都不满足），那么结果为真，如果两个操作数A和B条件不同，那么结果为假。可以写成：

$$Y = A \odot B$$

或者写成

$$Y = AB + A'B'$$

或者

$$Y = (A + B')(A' + B)$$

真值表的形式为：

当A和B的值相同时（即均为1或者均为0时），那么结果Y为1；如果A和B的值不相同（即一个为0，一个为1时），那么结果Y为0。

逻辑同或的符号为：

图12 逻辑同或的国际通用符号形式

或

图13 逻辑同或的国内常用符号

2.3 与非

如果两个操作数A和B，首先进行与操作，再取非操作，最终得到与非操作。可以写成：

$$Y = \overline{A \cdot B}$$

同时也可以写成

$$Y = A' + B'$$

真值表的形式为：

逻辑与非的符号形式为：

图14 逻辑与非的国际通用符号

或

图15 逻辑与非的国内常用符号

2.4 或非

对于两个操作数A和B，首先进行逻辑或操作，再取逻辑非操作，就是或非。可以写成：

$$Y = \overline{A + B}$$

也可以写成：

$$Y = A'B'$$

真值表的形式为：

逻辑或非得的符号形式为：

图16 逻辑或非的国际通用符号形式

或

图17 逻辑或非的国内常用符号形式