一文读懂伯努利方程：从假设到推导的完整解析

一文读懂伯努利方程：从假设到推导的完整解析

伯努利方程是流体力学中的一个基本方程，描述了理想流体在稳定流动时的能量守恒关系。本文将详细介绍伯努利方程的推导过程及其物理意义。

伯努利方程是关于不可压缩的流体的方程。假设液体不可被压缩、没有粘滞性、与管壁也没有摩擦阻力，那么处处满足伯努利方程

\begin{equation} \frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{常数}~. \end{equation}

其中 $g$ 是重力加速度，$z$ 是高度，$p$ 是液体的压强，$\rho$ 是液体的密度

可以根据伯努利原理设计液体测速计等设备。

推导

图 1：伯努利方程的推导 (参考相关页面)

如图，一根管子的粗细不同两部分的横截面面积分别为 $A_1, A_2$，压强分别为 $p_1, p_2$，高度分别为 $h_1, h_2$；其中流过的液体密度为 $\rho$，管内流速分布不随时间变化，在 1,2 两处的速度分别为 $v_1, v_2$。

考虑 $A_1, A_2$ 之间的这段液体，假设一段 $\Delta t$ 时间内，起左端和右端分别移动了 $s_1, s_2$。 根据不可压缩的假设，流入水管的水量等于流出水管的水量，$A_1v_1\Delta t=A_2v_2\Delta t=V$，即 $m1=m2$。这个过程中这段液体的机械能改变了多少呢？机械能包括动能和重力势能。由于中间深蓝色的部分的机械能保持不变，所以可以等效视为 1 处的一小截液体移动到了 2 处。

浅蓝色的两段液体的机械能为

\begin{equation} E_1=\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1, \qquad E_2=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2~, \end{equation}

所以 $A_1,A_2$ 间的液体在时间 $\Delta t$ 内机械能增量为 $E_2 - E_1$。

再考虑液体压力的做功。$A_1,A_2$ 之间的液体向右移动时，$A_1$ 处的压强对其做正功，$A_2$ 处的压强对其做负功。

\begin{equation} W_1=p_1v_1A_1\Delta t=p_1V, \qquad W_2=-p_2v_2A_2 \Delta t=-p_2V ~, \end{equation}

根据机械能定理 $W_1 + W_2 = E_2 - E_1$，代入得

\begin{equation} p_1V+\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=p_2V+\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2~. \end{equation}

事实上 1，2 的位置可以任意选取，因此任意位置都有

\begin{equation} pV+\frac{1}{2}mv^2+mgh=\text{常数}~, \end{equation}

两边同除以 $V\rho$ 有

\begin{equation} \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gh = \text{常数}~. \end{equation}