三角形重心的性质及证明方法

创作时间:

2025-01-22 20:06:54

作者:

@小白创作中心

三角形重心的性质及证明方法

三角形的重心是三角形中一个重要的几何概念，它具有多个独特的性质。本文将详细介绍三角形重心的性质及其证明方法。

三角形重心的基本性质

性质1：重心到顶点与对边中点的距离比

三角形的重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1。证明如下：

设三角形ABC的顶点为A、B、C，E和F分别为AB、AC的中点。连接EC和FB，并与之相交于点G，再过E点作EH平行于BF。因为AE=BE，所以AH=HF=1/2AF，AF=CF，从而得出HF=1/2CF。因此，EG=1/2CG。

性质2：与顶点组成的三角形面积相等

重心和三角形三个顶点组成的三个三角形的面积相等。证明如下：

在三角形ABC中，设三边为a、b、c，点O是重心。OA1、OB1、OC1为对应边上的中线。根据重心性质，有OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1。过点O作a边上的高h1，得到Oh1=1/3Ah。因此，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)。因此，三个三角形的面积相等。

性质3：到顶点距离平方和最小

重心到三角形三个顶点距离平方的和最小。对于等边三角形，证明如下：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，平面上任意一点为（x，y）。该点到三个顶点距离平方和为：

(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2。

当x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时，上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2，最终得出结论。

性质4：坐标计算方法

在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)。在空间直角坐标系中，重心的坐标为横坐标：(X1+X2+X3)/3、纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3、竖坐标：（z1+z2+z3）/3。

性质5：到三边距离之积最大

三角形内到三边距离之积最大的点位于重心。

性质6：向量关系

若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

性质7：中线交点

设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

性质8：面积比关系

相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。证明如下：

假设D为BC中点，因为BD=CD，又因为h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，所以S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD，S△BOD=S△COD。因此，S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE。同理，因为E为AC中点，所以S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD。因此，S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD。又因为S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC，S△AOF/S△AOE+S△COE，可以得出S△BOF=S△AOF。由此可知，BF=AF，因此CF为AB边上的中线，说明三角形的三条中线相交于一点。