中考数学必考：三角形内外接圆半径计算技巧

中考数学必考：三角形内外接圆半径计算技巧

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CSDN

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来源

1.

https://wenku.csdn.net/answer/278cc5a9d8184cf69ac8b2cd8efd6da9

2.

http://www.baidu.com/from=844b/ssid=0/s?word=%E6%80%8E%E4%B9%88%E6%B1%82%E5%9C%86%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%BE%84&sa=re_dl_prs_34689_5&ms=1&rqid=9883017992559164183&rq=%E7%AE%97%E5%9C%86%E5%8D%8A%E5%BE%84%E7%9A%84%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%98%AF%E4%BB%80%E4%B9%88&rsf=1630008&asctag=135

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https://www.sohu.com/a/841784995_351781

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https://www.goldbooknews.com/mob/articles/detail/NNguKGFlP

5.

https://www.junyiacademy.org/course-compare/math-juni/math-9/n-m9a/n-m9a-c03/n-m9a-c03-2/e/mjszm9bc

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https://www.junyiacademy.org/teacherpreneur/teacherpreneur-001/new-topic-741/teacherpreneur-001-9a-08/v/qnWigPz4WvM

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https://www.junyiacademy.org/course-compare/math-juni/math-9/math-9-legacy/j-m9a_preview/t_js-9-08/t_jsc-9-08-1/v/-MMIi1SuEIE

在中考数学中，三角形的内切圆和外接圆半径是平面几何的重要考点。掌握其计算方法不仅能帮助我们快速解题，还能加深对几何性质的理解。本文将系统总结相关概念和公式，并通过典型例题演示解题技巧。

内切圆半径

对于任意三角形ABC，设其三边长分别为a、b、c，半周长为s（s = (a+b+c)/2），面积为A，则内切圆半径r的计算公式为：

[ r = \frac{A}{s} ]

其中，面积A可以通过海伦公式计算：

[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ]

对于直角三角形，若两直角边分别为a、b，斜边为c，则内切圆半径有更简单的计算公式：

[ r = \frac{a + b - c}{2} ]

或者

[ r = \frac{ab}{a + b + c} ]

外接圆半径

三角形的外接圆半径R可以通过正弦定理计算：

[ R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C} ]

其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应角。此外，还可以通过三角形的面积A来计算外接圆半径：

[ R = \frac{abc}{4A} ]

对于特殊类型的三角形，外接圆半径有其独特的性质：

• 锐角三角形：外心在三角形内部
• 直角三角形：外心位于斜边中点，半径等于斜边一半
• 钝角三角形：外心在三角形外部

例题1：一般三角形的内外接圆半径计算

已知三角形ABC的三边长分别为5、6、7，求其内切圆和外接圆半径。

解：

首先计算半周长s：

[ s = \frac{5+6+7}{2} = 9 ]

然后用海伦公式计算面积A：

[ A = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = 6\sqrt{6} ]

内切圆半径r：

[ r = \frac{A}{s} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} ]

外接圆半径R：

[ R = \frac{abc}{4A} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} ]

例题2：直角三角形的内外接圆半径计算

已知直角三角形的两直角边分别为3和4，求其内切圆和外接圆半径。

解：

斜边c可以通过勾股定理计算：

[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 ]

内切圆半径r：

[ r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1 ]

或者

[ r = \frac{3 \times 4}{3 + 4 + 5} = 1 ]

外接圆半径R（直角三角形的外心在斜边中点）：

[ R = \frac{5}{2} = 2.5 ]

1. 熟练掌握基本公式是解题的基础，但更重要的是学会灵活运用。
2. 在解决与圆相关的几何问题时，常常需要添加辅助线。例如，遇到弦时可以作弦心距，遇到直径时可以考虑直径所对的圆周角等。
3. 对于特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形），要善于利用其特殊性质简化计算。
4. 注意区分内切圆半径和外接圆半径的计算方法，不要混淆。

通过以上内容的学习，相信你已经掌握了三角形内外接圆半径的计算技巧。但理论知识只是第一步，要想在考试中取得好成绩，还需要通过大量练习来巩固和提高。加油！