中考数学动点问题：从基础到实战的高效学习法

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中考数学动点问题：从基础到实战的高效学习法

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/679978444

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https://new.qq.com/rain/a/20240720A07M5T00

http://www.360doc.com/content/24/1015/15/40557149_1136625399.shtml

https://m.qidian.com/ask/qclzfwzdysk

https://m.qidian.com/ask/qenqbrhxayc

在中考数学中，动点问题一直是一个让很多学生感到头疼的难点。这类题目不仅考察学生的几何知识，还要求学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。今天，我们就以一道典型的动点问题为例，深入探讨如何高效解决这类题目。

从一道真题看动点问题的难点

让我们先来看一道中考真题：

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上。将四边形ABFE沿EF翻折，使点A的对称点P落在DC边上，同时点B的对称点为G，PG交BC于点H。

求证：△EDP∽△PCH。
若P为CD中点，且AB=2，BC=3，求GH的长度。
连接BG，若P为BC中点，H为AB中点，探究BG与AB的大小关系，并说明理由。

这道题目看似复杂，但如果我们掌握了动点问题的解题技巧，就能迎刃而解。接下来，我们就来分析一下这道题目的解题思路。

动点问题的解题技巧

动点问题的解题关键在于“化动为静”，即将动点在某一时刻的位置视为静止状态，从而将问题转化为静态的几何问题。具体来说，我们可以采用以下几种方法：

分类讨论：当动点的运动轨迹或位置不确定时，需要进行分类讨论。例如，在这道题目中，点P的位置可能在CD边上不同位置，我们需要分别考虑这些情况。
数形结合：利用图形的直观性，将几何问题转化为代数问题。例如，通过相似三角形的比例关系，我们可以建立线段长度之间的方程。
建立方程模型：将动点问题转化为方程或函数模型。例如，在求解GH的长度时，我们可以通过建立方程来求解。
运用几何定理：熟练运用几何定理，如勾股定理、相似三角形的性质等，是解决动点问题的基础。

具体案例分析

让我们回到开头的题目，运用上述方法来解决这个问题。

第一问：证明相似三角形

要证明△EDP∽△PCH，我们需要找到两个三角形的对应角相等。由于四边形ABCD是矩形，我们知道∠A = ∠D = ∠C = 90°。折叠后，∠EPH = ∠A = 90°，因此∠1 + ∠2 = 90°。又因为∠1 + ∠3 = 90°，可以得出∠3 = ∠2。根据AA相似判定定理，我们得出△EDP∽△PCH。

第二问：求GH的长度

已知P为CD中点，CD = AB = 2，因此DP = CP = 1。设EP = AP = x，则ED = AD - AE = 3 - x。在Rt△EDP中，由勾股定理得x² = (3-x)² + 1²，解得x = 5/3。接下来，利用相似三角形的比例关系ED/PC = EP/PH，即(4/3)/1 = (5/3)/PH，解得PH = 5/4。因此，GH = PG - PH = 2 - 5/4 = 3/4。

第三问：探究线段关系

延长AB、PG交于M，连接AP。由于BG∥AP，MA = MP。设DP = CP = y，则AB = PG = CD = 2y，BH = CH。通过全等三角形BMH≌PCH，得到BM = CP = y，HM = HP。于是MP = MA = MB + AB = 3y，HP = 3y/2。在Rt△PCH中，用勾股定理求得BC = √5y。最后，通过相似三角形BMG∽MAP，找出BG与AB的关系：BG/AP = BM/AM = 1/3，即BG = (√6/3)y。因此，AB/BG = √6，得出AB = √6BG。