中考几何题解法大揭秘：一线三垂直模型

中考几何题解法大揭秘：一线三垂直模型

引用

CSDN

等

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来源

1.

https://blog.csdn.net/2301_81888214/article/details/138571361

2.

https://m.qidian.com/ask/qhvrhkgmiam

3.

https://m.qidian.com/ask/qclmimixask

4.

https://www.51jiaoxi.com/doc-16617348.html

5.

https://m.qidian.com/ask/qamjdfokgxa

6.

https://www.hi917.com/detail/674.html

7.

https://sx.zxxk.com/m/books-b1423/

中考几何题中，一线三垂直模型是一个非常重要的解题工具。它不仅能够帮助我们快速识别和解决与直角三角形相关的问题，还能在复杂的几何图形中找到突破口。今天，我们就来详细解析这个模型的定义、特征和应用。

一线三垂直模型指的是：如果两个直角三角形的三边分别互相垂直，那么这两个三角形相似；如果还有一边相等，那么这两个三角形全等。

这个模型通常出现在以下几种几何背景中：

• 等腰直角三角形
• 正方形
• 矩形
• 梯形

让我们通过一个具体的例题来理解一线三垂直模型的应用。

例题1：全等三角形证明

题目：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE。已知∠1＝∠2，AD＝DE。求证：△ABD≌△DCE。

解析：

（1）首先观察图形，发现∠1和∠2相等，且AD＝DE，这提示我们可能需要利用一线三垂直模型。

（2）连接AE，构造一线三垂直模型。由于AB＝AC，所以∠B＝∠C。

（3）在△ABD与△DCE中，我们有：

• ∠B＝∠C（等腰三角形的底角相等）
• ∠ADB＝∠CDE（对顶角相等）
• AD＝DE（已知）

根据AAS（角角边）定理，可以证明△ABD≌△DCE。

例题2：矩形背景下的应用

题目：如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，分别以AB、BC为直径向外作半圆。求阴影部分的面积。

解析：

（1）连接AC，根据勾股定理，AC²＝AB²＋BC²＝4²＋5²＝41。

（2）阴影部分面积由矩形面积、两个半圆面积和大圆面积组成：

• 矩形面积：S矩形＝AB×BC＝4×5＝20
• 半圆(AB为直径)面积：π(AB/2)²/2＝2π
• 半圆(BC为直径)面积：π(BC/2)²/2＝25π/8
• 大圆(AC为直径)面积：π(AC/2)²＝41π/4

（3）综合计算：
S阴影＝S矩形＋2π＋25π/8－41π/4
＝20＋2π＋25π/8－82π/8
＝20＋2π－57π/8
＝20－41π/8

1. 模型识别：在遇到直角三角形、矩形、正方形等图形时，要特别留意是否可以构造一线三垂直模型。

2. 辅助线作法：通常需要通过作垂线来构造模型，关键是要找到合适的点作垂线。

3. 全等或相似：一线三垂直模型主要用于构造全等或相似三角形，从而建立边长或角度的关系。

4. 综合应用：在解决复杂几何问题时，一线三垂直模型往往需要与其他几何知识（如勾股定理、相似三角形性质等）结合使用。

通过掌握一线三垂直模型，我们可以更高效地解决中考几何题中的相关问题。建议同学们多做练习，熟练运用这一模型，提高解题能力。