伴随矩阵的定义、求法与性质

伴随矩阵的定义、求法与性质

引用

CSDN

等

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来源

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https://blog.csdn.net/talifinior/article/details/144629766

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https://allen.in/jee/maths/adjoint-of-a-matrix

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https://www.frdic.com/mdicts/en/adjoint

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http://www.dictall.com/indu/156/15517841A54.htm

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https://docs.pingcode.com/baike/1032100

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https://dict.zhuaniao.com/en/adjoint+matrix/

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http://www.bing.com/dict/adjoint-matrix

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https://juejin.cn/s/inverse%20matrix%20using%20adjoint%20method%20calculator

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https://docs.pingcode.com/baike/1196307

在矩阵理论中，伴随矩阵（Adjoint Matrix）是一个重要的概念，它在求解线性方程组、计算矩阵的逆以及行列式的值等方面都有广泛的应用。本文将详细介绍伴随矩阵的定义、计算方法及其主要性质。

伴随矩阵的定义

对于一个(n \times n)的方阵(A)，其伴随矩阵（记作(\text{adj}(A))或(A^*)）是通过以下步骤构造的：

1. 计算代数余子式：对于矩阵(A)中的每个元素(a_{ij})，计算其代数余子式(A_{ij})。代数余子式定义为：
   [
   A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
   ]
   其中，(M_{ij})是去掉第(i)行和第(j)列后剩余部分构成的((n-1) \times (n-1))矩阵的行列式。

2. 构建代数余子式矩阵：将所有计算得到的代数余子式(A_{ij})按照原来的位置组成一个新的矩阵。

3. 转置得到伴随矩阵：将上述代数余子式矩阵进行转置，即原矩阵第(i)行第(j)列的元素，在伴随矩阵中变为第(j)行第(i)列。这个转置后的矩阵就是伴随矩阵(\text{adj}(A))。

伴随矩阵的性质

伴随矩阵具有以下重要性质：

1. 与原矩阵的关系：伴随矩阵与原矩阵的乘积等于原矩阵行列式的单位矩阵，即：
   [
   A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = |A|I
   ]
   其中，(I)是单位矩阵，(|A|)是矩阵(A)的行列式。

2. 与逆矩阵的关系：如果矩阵(A)是可逆的（即(|A| \neq 0)），则其逆矩阵可以通过伴随矩阵计算得到：
   [
   A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)
   ]

3. 特殊矩阵的伴随矩阵：

   • 对于一阶矩阵，其伴随矩阵就是1（单位方阵）。
   • 对于二阶矩阵，伴随矩阵可以通过“主对角线元素互换，副对角线元素变号”快速得出。

应用场景

伴随矩阵在数学和工程领域有广泛的应用：

1. 求解线性方程组：通过克拉默法则，伴随矩阵可以用来求解线性方程组的解。
2. 计算矩阵的逆：如上所述，伴随矩阵是计算可逆矩阵逆的重要工具。
3. 理论分析：在矩阵理论的研究中，伴随矩阵的性质被广泛用于证明各种定理和推论。

掌握伴随矩阵的概念和计算方法，对于深入理解线性代数和相关领域的知识是非常有帮助的。通过上述定义和性质，我们可以更准确地在学术交流中使用这一数学工具。