中考数学攻略：一次函数与三角形的完美结合

中考数学攻略：一次函数与三角形的完美结合

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来源

1.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139431557

2.

https://www.163.com/dy/article/J17DH4D30553H33C.html

3.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/138486224

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https://www.sohu.com/a/783060763_121124023

5.

http://www.zhongkao.com/czsx/sjhs/sjhsst/

6.

https://m.qidian.com/ask/qurjdskeniq

在中考数学中，一次函数与三角形的结合题型是一个重要的考点，这类题目不仅考查学生对函数和几何知识的掌握程度，还考验他们的综合分析和解决问题的能力。本文将为你详细解析这类题型的解题思路和方法，帮助你轻松应对中考中的这一难点。

一次函数与三角形结合的题目通常有以下几种形式：

1. 坐标系中的几何问题：给出一次函数的解析式，要求在坐标系中解决与三角形相关的问题，如求点的坐标、证明相似或全等等。

2. 函数图像与几何图形的结合：通过一次函数的图像与三角形的位置关系，考查几何性质的应用。

3. 动点问题：在一次函数的图像上设置动点，探讨与三角形相关的动态几何问题。

解决这类问题的一般思路包括：

1. 利用函数解析式求关键点坐标：通过解析式找出直线与坐标轴的交点，或者根据已知条件求出特定点的坐标。

2. 应用几何性质进行推理：利用相似三角形、全等三角形等几何性质进行推理和证明。

3. 结合代数方法求解：通过建立方程或不等式，解决与三角形边长、角度相关的问题。

让我们通过一个具体的中考真题来演示解题过程：

题目：如图，在平面直角坐标系中，直线AB：(y = -\frac{3}{4}x + 6)分别交x轴、y轴于点A和B。P是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D。

1. 求证：△APC∽△BPD。
2. 当OC=OD时，求点P的坐标。

解析：

第1问：证明相似性

步骤1：确定A、B坐标

• 直线AB方程为 (y = -\frac{3}{4}x + 6)。
• A点（x轴交点）：令 (y = 0)，解得 (x = 8)，故A(8, 0)。
• B点（y轴交点）：令 (x = 0)，解得 (y = 6)，故B(0, 6)。

步骤2：分析∠APC和∠BPD的关系

• ∵ PC⊥x轴，PD⊥y轴，
• ∴ ∠PCA = ∠PDB = 90°。
• 又∵ ∠ACP = ∠BDP = 90°，
• ∴ 四边形PCOD是矩形，从而∠CPD = 90°。
• 在△APC和△BPD中：
  • ∠CAP + ∠APC = 90°（因为∠PCA = 90°）；
  • ∠PBD + ∠BPD = 90°（因为∠PDB = 90°）；
  • 而∠APC = ∠BPD（对顶角相等），
• ∴ ∠CAP = ∠PBD。

步骤3：应用AA相似判定定理

• 已知∠ACP = ∠BDP = 90°且∠CAP = ∠PBD，
• 根据“两角对应相等，两三角形相似”的原则，
• 得出△APC∽△BPD。

第2问：求点P坐标

步骤1：设点P坐标并表示OC、OD

• 设P(x, y)，则OC = x，OD = y。

步骤2：利用条件OC = OD建立方程

• 由题意知OC = OD，即x = y。
• 将y用x表示代入直线AB方程：(x = -\frac{3}{4}x + 6)。

步骤3：解方程求x值

• 整理方程得 (\frac{7}{4}x = 6)，
• 解得 (x = \frac{24}{7})。

步骤4：计算y值并得出P点坐标

• 由于x = y，因此 (y = \frac{24}{7})，
• 所以点P的坐标为 ((\frac{24}{7}, \frac{24}{7}))。

1. 扎实基础：熟练掌握一次函数的性质和三角形的相关定理，这是解题的基础。

2. 多做练习：通过大量练习，熟悉各种题型的解法，提高解题速度和准确率。

3. 总结规律：在练习中总结解题规律，形成自己的解题思路。

4. 注重细节：在解题过程中，注意坐标系中点的位置关系，以及几何图形的性质。

一次函数与三角形的结合题型虽然难度较大，但通过系统的学习和大量的练习，完全可以在中考中取得好成绩。希望本文能为你提供有效的学习路径，祝你中考成功！