考研倒计时！掌握矩阵行互换技巧冲刺高分

考研倒计时！掌握矩阵行互换技巧冲刺高分

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来源

1.

https://blog.csdn.net/wm_green_hand/article/details/104696157

2.

https://blog.csdn.net/WJYaiTT1022/article/details/140479997

3.

https://blog.csdn.net/2301_78723800/article/details/137975152

4.

https://blog.csdn.net/qq_28576837/article/details/136143379

5.

https://wenku.csdn.net/column/24zkq165nv

6.

https://blog.csdn.net/a131529/article/details/139704044

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https://blog.csdn.net/yueaini10000/article/details/140555886

8.

https://www.bilibili.com/read/cv32797341/

9.

https://www.cnblogs.com/alphaGo/p/18583954

随着考研倒计时的临近，线性代数作为数学考试的重要组成部分，其复习效率直接影响到最终的成绩。在众多考点中，矩阵行互换的技巧看似简单，实则暗藏玄机，掌握得好可以让你在解题时事半功倍。本文将从矩阵行互换的基本性质出发，结合具体例题，为你揭示这一技巧在实际考试中的应用。

在讨论矩阵行互换的技巧之前，我们首先需要明确这一操作的基本性质。对于一个矩阵来说，互换两行不会改变其作为线性方程组系数的本质作用。然而，如果将矩阵视为行列式，情况就有所不同了。

定理1： 交换矩阵中的任意两行，所得的矩阵的行列式符号变号。

用数学语言描述就是：设(A)为一个方阵，(A')是通过交换(A)中两行得到的矩阵，则有
[
|A'| = -|A|
]

这个性质非常重要，因为它不仅影响行列式的计算，还关系到矩阵的其他性质，比如可逆性。例如，如果一个矩阵经过若干次行互换后变为单位矩阵，那么它的行列式值就是((-1)^k)，其中(k)是行互换的次数。

在考研中，计算高阶行列式是一个常见的考点。直接计算高阶行列式往往非常复杂，而通过行互换等初等变换将其转化为上三角矩阵，可以大大简化计算过程。

例题1： 计算下列行列式的值
[
D = \begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 \
1 & 0 & 1 \
4 & 2 & 5
\end{vmatrix}
]

解： 我们可以通过行互换和行加减消元法将其转化为上三角矩阵。

第一步，交换第1行和第2行：
[
D = -\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \
2 & 1 & 3 \
4 & 2 & 5
\end{vmatrix}
]

第二步，用第1行消去第2行和第3行的第一个元素：
[
D = -\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 1 \
0 & 2 & 1
\end{vmatrix}
]

第三步，用第2行消去第3行的第二个元素：
[
D = -\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 1 \
0 & 0 & -1
\end{vmatrix}
]

现在矩阵已经是上三角矩阵，其行列式的值等于对角线元素的乘积：
[
D = -(1 \cdot 1 \cdot (-1)) = 1
]

通过这个例子我们可以看到，行互换结合其他初等行变换，可以将复杂的行列式计算转化为简单的对角线元素乘积。

除了计算行列式，行互换在求解线性方程组中也发挥着重要作用。通过行互换，我们可以将方程组转化为阶梯形矩阵，从而更容易找到解。

例题2： 求解下列线性方程组
[
\begin{cases}
2x_1 + x_2 + 3x_3 = 6 \
x_1 + 2x_2 + x_3 = 5 \
4x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 14
\end{cases}
]

解： 我们将方程组的增广矩阵进行行变换。

第一步，交换第1行和第2行：
[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \
2 & 1 & 3 & 6 \
4 & 2 & 5 & 14
\end{pmatrix}
]

第二步，用第1行消去第2行和第3行的第一个元素：
[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \
0 & -3 & 1 & -4 \
0 & -6 & 1 & -6
\end{pmatrix}
]

第三步，用第2行消去第3行的第二个元素：
[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 5 \
0 & -3 & 1 & -4 \
0 & 0 & -1 & 2
\end{pmatrix}
]

现在矩阵已经是阶梯形矩阵，我们可以从最后一行开始回代求解：
[
\begin{cases}
-x_3 = 2 \
-3x_2 + x_3 = -4 \
x_1 + 2x_2 + x_3 = 5
\end{cases}
]

解得：
[
x_3 = -2, \quad x_2 = 2, \quad x_1 = 1
]

1. 行互换与行列式值的关系： 每次行互换都会使行列式的值变号，因此在计算行列式时要特别注意行互换的次数。

2. 行互换的优先级： 在进行初等行变换时，通常优先使用行互换，将方便计算的行放在前面，然后再进行行加减消元。

3. 避免不必要的行互换： 虽然行互换可以简化计算，但过多的行互换会增加出错的概率，因此在解题时要权衡是否真的需要行互换。

4. 行互换与矩阵秩的关系： 行互换不会改变矩阵的秩，因此在求矩阵秩时可以放心使用行互换。

掌握矩阵行互换的技巧不仅能帮助你快速准确地解决线性代数中的计算问题，还能让你在解题时更加游刃有余。在考研冲刺阶段，这些实用的技巧将是你取得高分的重要助力。通过大量练习和不断总结，相信你一定能在考试中发挥出色，取得理想的成绩。