考研数学必备：矩阵初等变换技巧大揭秘！

考研数学必备：矩阵初等变换技巧大揭秘！

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来源

1.

https://blog.csdn.net/njnu19210217/article/details/138668605

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https://blog.csdn.net/IAN27/article/details/108294853

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https://blog.csdn.net/m0_53605808/article/details/143091766

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https://blog.csdn.net/axecute/article/details/145064345

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https://blog.csdn.net/Math_Boy_W/article/details/138027566

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https://blog.csdn.net/qq_34451885/article/details/144283151

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https://gdfzu.club/web/ch_linear_system.html

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http://wiki.fengfengphp.com/zh-cn/math/matrix/matrix_3.html

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https://www.bilibili.com/video/BV1Lgt7eMEsn/

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https://sudoedu.com/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E8%A7%86%E9%A2%91%E8%AF%BE%E7%A8%8B/%E7%9F%A9%E9%98%B5/%E7%94%A8%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%8F%98%E6%8D%A2%E6%B1%82%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5/

矩阵的初等变换是高等代数和线性代数中的重要概念之一。无论是求逆矩阵还是解线性方程组，掌握好矩阵的初等变换技巧都能事半功倍。本文将详细介绍矩阵初等变换的各种应用场景及具体步骤，帮助正在备战考研的同学更好地理解和运用这些知识，轻松应对考试中的各类题目。

矩阵的初等行变换主要包括以下三种类型：

1. 交换两行：直接调换矩阵中任意两行的位置。
2. 数乘一行：用非零常数乘以某一行的所有元素。
3. 行加法：将某一行的倍数加到另一行上。

这些变换虽然改变了矩阵的外观，但不会改变其本质特性，如秩和线性关系。从线性方程组的角度看，交换两行相当于调整方程的顺序，这并不影响整个系统的解集。

示例：

考虑矩阵 A：

[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9 \
\end{pmatrix}
]

• 交换第1行和第2行：

[
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \
1 & 2 & 3 \
7 & 8 & 9 \
\end{pmatrix}
]

• 第2行乘以2：

[
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \
2 & 4 & 6 \
7 & 8 & 9 \
\end{pmatrix}
]

• 第3行减去第1行的2倍：

[
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \
2 & 4 & 6 \
-1 & -2 & -3 \
\end{pmatrix}
]

解线性方程组

通过初等行变换，我们可以将线性方程组的增广矩阵化为行最简形，从而直接读出方程组的解。

例如，考虑线性方程组：

[
\begin{cases}
x + 2y + 3z = 6 \
2x + 3y + 2z = 3 \
3x + 4y + z = 2 \
\end{cases}
]

其增广矩阵为：

[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 6 \
2 & 3 & 2 & 3 \
3 & 4 & 1 & 2 \
\end{array}\right)
]

通过行变换化为行最简形：

1. 第2行减去第1行的2倍，第3行减去第1行的3倍：

[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 6 \
0 & -1 & -4 & -9 \
0 & -2 & -8 & -16 \
\end{array}\right)
]

2. 第3行减去第2行的2倍：

[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 6 \
0 & -1 & -4 & -9 \
0 & 0 & 0 & 2 \
\end{array}\right)
]

从行最简形可以看出，该方程组无解（最后一行表示0=2的矛盾方程）。

求逆矩阵

利用初等行变换求解矩阵的逆是一种非常实用的方法，通常称为增广矩阵法或高斯-约当消元法。具体步骤是通过将矩阵 A 转化为单位矩阵 I，同时对单位矩阵进行相同的行变换，最终得到矩阵 A 的逆矩阵。

步骤概述

1. 构造增广矩阵：将待求矩阵 A 和单位矩阵 I 增广在一起，形成 [A∣I]。
2. 利用初等行变换将 A 化为单位矩阵 I：对增广矩阵 [A∣I] 的左半部分 A 进行初等行变换，最终将其化为单位矩阵 I。
3. 右半部分即为逆矩阵：当左半部分变为 I 后，增广矩阵的右半部分将变成 A 的逆矩阵。

例：求矩阵 A 的逆矩阵

假设矩阵 A 为：

[
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 \
5 & 3 \
\end{pmatrix}
]

我们将通过初等行变换求解它的逆矩阵。

步骤 1: 构造增广矩阵

将矩阵 A 和单位矩阵 I 增广在一起：

[
\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 1 & 1 & 0 \
5 & 3 & 0 & 1 \
\end{array}\right)
]

步骤 2: 使用初等行变换将 A 化为单位矩阵

1. 将第一行的第一个元素变为 1：将第 1 行除以 2：

[
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0.5 & 0.5 & 0 \
5 & 3 & 0 & 1 \
\end{array}\right)
]

2. 将第 2 行的第一个元素变为 0：用第 2 行减去 5 倍的第 1 行：

[
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0.5 & 0.5 & 0 \
0 & 0.5 & -2.5 & 1 \
\end{array}\right)
]

3. 将第二行的第二个元素变为 1：将第 2 行乘以 2：

[
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0.5 & 0.5 & 0 \
0 & 1 & -5 & 2 \
\end{array}\right)
]

4. 将第一行的第二个元素变为 0：用第 1 行减去 0.5 倍的第 2 行：

[
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 3 & -1 \
0 & 1 & -5 & 2 \
\end{array}\right)
]

现在，增广矩阵的左半部分已经成为单位矩阵 I，右半部分即为矩阵 A 的逆矩阵：

[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
3 & -1 \
-5 & 2 \
\end{pmatrix}
]

步骤 3: 验证结果

我们可以通过验证 (AA^{-1} = I) 来检查结果是否正确：

[
AA^{-1} = \begin{pmatrix}
2 & 1 \
5 & 3 \
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & -1 \
-5 & 2 \
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & 1 \
\end{pmatrix}
]

因此，结果正确，(A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \ -5 & 2 \end{pmatrix})。

计算矩阵的秩

矩阵的秩可以通过行变换快速判断。将矩阵化为行最简形后，非零行的个数即为矩阵的秩。

例如，考虑矩阵 B：

[
B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
2 & 4 & 6 \
3 & 6 & 9 \
\end{pmatrix}
]

通过行变换化为行最简形：

1. 第2行减去第1行的2倍，第3行减去第1行的3倍：

[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
\end{pmatrix}
]

从行最简形可以看出，矩阵 B 的秩为1（只有一个非零行）。

1. 行列式计算中的符号问题：当涉及行列式的计算时，交换两行会导致行列式的值变号。

2. 初等变换的顺序和技巧：在具体计算中要注意运算顺序和准确性，通常先进行数乘和行加法，最后再进行行交换。

3. 易错点分析：初等变换不能同时进行行变换和列变换，否则会改变矩阵的本质特性。

通过以上内容的学习，相信你已经掌握了矩阵初等变换的核心要点。在考研数学中，这部分内容是基础也是重点，建议多加练习，熟练掌握各种变换技巧和应用场景。