自动控制原理：控制系统的数学模型与拉氏变换

自动控制原理：控制系统的数学模型与拉氏变换

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/persona5joker/article/details/139363141

数学模型的概念与建模原则

什么是数学模型

所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。它是控制系统定量分析的基础。

数学模型的特点

1. 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统
2. 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理
3. 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4. 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数

数学模型的类型

1. 微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐
2. 传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果
3. 频率特性：频域 分析方法不同，各有所长

数学模型的建立方法

1. 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。
2. 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。

建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模型－简化

系统微分方程的建立

列写微分方程式的一般步骤

1. 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。
2. 忽略一些次要因素，合理简化。
3. 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。
4. 列写中间变量的辅助方程。
5. 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。
6. 将方程式化成标准形。

线性微分方程的一般特征

观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：

式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量

从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：

（1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；
（2）左端的阶次比右端的高,n>=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；
（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

机械平移系统的举例

三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f
对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv

弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。

解：遵照列写微分方程的一般步骤有：

（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。
（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即
（4）写中间变量与输出量的关系式
（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得
（6）整理方程得标准型
（7）令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为

电路系统举例

例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。

解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
（3）由KVL写原始方程：
（4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:
（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得
（6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为

电枢控制的直流电动机

直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD，从而使电枢旋转，拖动负载运动。

Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。

下面推导其微分方程式。

（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度w为输出量；
（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；
（3）列写原始方程式

电枢回路方程：

电动机轴上机械运动方程：

J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量;
MD — 电枢电流产生的电磁转矩;
ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。

（4）列写辅助方程 Ea = kew
ke — 电势系数，由电动机结构参数确定。
MD = km ia
km — 转矩系数，由电动机结构参数确定。
（5）消去中间变量，得
令机电时间常数Tm:
令电磁时间常数Ta:
6)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
7)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略
8) 随动系统中，取θ为输出
9) 在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设 ML=0

微分方程的实质

机械平移系统的举例
电路系统举例
电枢控制的直流电动机
不同的运动具有相似的形式

传递函数

拉式变换及其性质

2.11定义
记X(s) =L[x(t)]

2.12进行拉氏变换的条件
1)t< 0，x(t)=0；当t³ 0，x(t)是分段连续；
2)当t充分大后满足不等式|x(t)|<M，M，c是常数。

2.13.性质和定理
1)线性性质
L[aX(t) +bG(t)] =aX(s) +bG(s)
2）微分定理
3）积分定理
(0)是函数∫x(t)dt在初始时刻的值。同理
若
(0)=
(0) = … = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，
4)终值定理
若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，limx(t)存在（t无穷远处），并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：

5)初值定理
如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且
存在，则

6)延迟定理
L[x(t-t)×1(t-t)] = X(s)
L[
x(t)] =X(s+a)

7)时标变换（尺度变换）

8)卷积定理

举例

1.求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。

解：

2.求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。

解：

3.求正弦函数x(t) =sinωt的拉氏变换。

解：

以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。

4.求函数x(t)的拉氏变换。

解： x(t) =x1(t) +x2(t) =A×1(t) -A×1(t-t0)

5，求
的拉氏变换

解：

6，求
的拉氏变换。

解：