欧拉巧解巴塞尔问题：从三角函数到数学之美
欧拉巧解巴塞尔问题：从三角函数到数学之美
1735年，年仅28岁的莱昂哈德·欧拉解决了一个困扰数学界近一个世纪的难题——巴塞尔问题。这个问题最早由意大利数学家皮耶特罗·门戈利于1644年提出，要求精确计算所有自然数平方的倒数之和：
[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots ]
这个看似简单的级数求和问题，却难倒了众多数学家。直到1735年，欧拉才给出了令人惊叹的答案：[ S = \frac{\pi^2}{6} ]
欧拉的解法堪称数学史上的一颗明珠，充分展现了数学之美。他巧妙地将三角函数的泰勒级数与代数中的多项式因式分解相结合，给出了一个看似简单却极具创造性的证明。
欧拉的思路始于正弦函数的泰勒级数展开：
[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots ]
将上式两边同时除以 (x)，得到：
[ \frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots ]
我们知道，(\frac{\sin x}{x}) 在 (x = 0) 时的值为 1，且当 (x) 等于 (\pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots) 时，(\sin x = 0)。因此，我们可以将 (\frac{\sin x}{x}) 表达为无穷乘积的形式：
[ \frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots ]
利用平方差公式，上式可以简化为：
[ \frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots ]
将这个乘积展开，并收集所有含 (x^2) 的项，我们得到：
[ \frac{\sin x}{x} = 1 - \left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots\right)x^2 + \cdots ]
比较泰勒级数展开式和无穷乘积展开式中 (x^2) 项的系数，我们发现：
[ -\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots\right) = -\frac{1}{3!} ]
因此：
[ \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots = \frac{1}{6} ]
两边同时乘以 (\pi^2)，得到：
[ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} ]
这就是巴塞尔问题的解。
然而，欧拉最初的证明并不完全严谨，因为他假设了无穷级数可以像有限多项式一样进行因式分解，这一点在当时尚未得到严格的数学证明。直到1741年，欧拉才给出了一个更加严密的证明。
欧拉解决巴塞尔问题的方法不仅展示了数学之美，也开启了数学分析的新篇章。他的方法后来被黎曼在1859年的著名论文《论小于给定大数的质数个数》中进一步发展，引入了黎曼ζ函数，为数论和分析学的发展开辟了新的方向。
欧拉对巴塞尔问题的解决，不仅是他个人的天才之作，更是数学史上的一座里程碑。它向我们展示了数学之美：从看似简单的级数求和，到深奥的无穷级数理论；从三角函数的泰勒展开，到复杂数论问题的解决。这个过程不仅体现了数学的严谨性，更展现了数学家们追求真理的智慧与勇气。