矩形中的最值问题：平移与轴对称的巧妙应用

矩形中的最值问题：平移与轴对称的巧妙应用

引用

CSDN

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来源

1.

https://blog.csdn.net/wmh_1234567/article/details/139498406

2.

https://blog.csdn.net/qq_26390449/article/details/136635478

3.

https://www.sohu.com/a/761325145_121124212

4.

https://www.sohu.com/a/816320629_121124288

5.

https://blog.csdn.net/lindan5563/article/details/137703738

6.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/137957284

7.

https://oi-wiki.org/ds/seg-beats/

8.

https://m.qidian.com/ask/qamjdpeqbbp

9.

https://www.cnblogs.com/zhgmaths/p/18478104

在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，点E为CD的中点。P、Q是BC边上的两个动点，且PQ=2cm，点P始终在点Q左侧。求四边形APQE周长的最小值。

要解决这个问题，我们需要运用几何中最值问题的解题技巧，特别是平移法和轴对称法。让我们一步步来分析：

1. 分析问题

四边形APQE的周长由四条边组成：AE、PQ、AP和QE。其中，AE和PQ的长度是固定的，AE可以通过勾股定理计算得出，PQ已知为2cm。因此，问题转化为求AP+QE的最小值。

2. 利用平移法

将AP平移到FQ位置，这样AP=FQ。问题转化为求FQ+QE的最小值，即点F到点E的直线距离。这种转化利用了“两点之间线段最短”的基本原理。

3. 利用轴对称法

作点E关于BC的对称点M，连接FM交BC于点Q。根据轴对称性质，FM=AE。此时，Q点即为所求位置，因为FQ+QE=FM，而FM是一条直线段，根据“两点之间线段最短”的原理，这是最短路径。

4. 具体计算

1. 计算AE的长度：
   由勾股定理得，AE=(\sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{68}) cm。

2. 计算FM的长度：
   由于FM=AE，所以FM=(\sqrt{68}) cm。

3. 确定BP的长度：
   设BP=x，则CQ=6-x。根据相似三角形性质，有(\frac{BP}{CQ} = \frac{PF}{EQ})。代入数值解得x=2或x=4。

因此，当BP=2cm时，Rt△ABP≌Rt△QCE；当BP=4cm时，Rt△ABP∽Rt△QCE，满足条件。

5. 最终答案

四边形APQE周长的最小值为AE+PQ+FM=(\sqrt{68}+2+\sqrt{68}=2\sqrt{68}+2) cm。

解题思路总结

解决这类几何最值问题的关键在于：

1. 转化思想：将复杂问题转化为基本模型，如将AP+QE转化为FQ+QE。
2. 分类讨论：考虑所有可能情况以确保答案完整。
3. 二次函数最值：在某些问题中，可能需要利用顶点公式求最大或最小值。
4. 轴对称与平移：这些几何变换是找出最短路径的关键技巧。

通过这个例子，我们可以看到，解决几何最值问题不仅需要扎实的几何知识，更需要灵活运用各种数学思维方法。希望这个解析能帮助你更好地理解和掌握这类问题的解法。