微积分-微分应用1（最大值和最小值）
微积分-微分应用1（最大值和最小值）
本文详细介绍了微积分中微分的应用，具体涉及最大值和最小值的概念、定义、定理以及寻找方法。通过多个例子详细解释了这些概念和定理，并给出了具体的计算过程。内容详实，逻辑清晰，适合对微积分有一定基础的读者深入理解微分的应用。
最大值和最小值
我们看到图中函数f的图像上的最高点是点(3, 5)。换句话说，f的最大值是f(3) = 5。同样，最小值是f(6) = 2。我们说f(3) = 5是f的绝对最大值，f(6) = 2是绝对最小值。一般来说，我们使用以下定义。
1. 定义
设c是函数f的定义域D中的一个数。那么f(c)是：
- 绝对最大值如果f(c) ≥ f(x)对于所有x ∈ D。
- 绝对最小值如果f(c) ≤ f(x)对于所有x ∈ D。
绝对最大值或最小值有时也称为全局最大值或最小值。f的最大值和最小值统称为f的极值。
图中显示了具有绝对最大值在d处和绝对最小值在a处的函数f的图像。注意，(d, f(d))是图上的最高点，而(a, f(a))是最低点。在图中，如果我们只考虑x在b附近的值（例如，如果我们将注意力集中在区间(a, c)上），那么f(b)是这些f(x)值中的最大值，称为局部最大值。同样，f(c)被称为局部最小值，因为对于x近c（在区间(b, d)内）的情况，f(c) ≤ f(x)。函数f也在e处具有局部最小值。一般来说，我们有以下定义。
2. 定义
这个数f(c)是：
- 局部最大值如果f(c) ≥ f(x)当x在c附近时。
- 局部最小值如果f(c) ≤ f(x)当x在c附近时。
例子1函数f(x) = cos x的（局部和绝对）最大值为1，它无限多次取值；同理，它的（局部和绝对）最小值为-1。
例子2如果f(x) = x^2，则f(x) ≥ f(0)因为x^2 ≥ 0对于所有x成立。因此f(0) = 0是f的绝对（和局部）最小值。这对应于抛物线y = x^2上的原点是最低点的事实。（见图）。然而，抛物线上没有最高点，因此此函数没有最大值。
例子3从函数f(x) = x^3的图形（见图）中可以看出，该函数既没有绝对最大值也没有绝对最小值。事实上，它也没有局部极值。
例子4函数
f(x) = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 -1 ≤ x ≤ 4
的图形见图。你可以看到f(1) = 5是局部最大值，而绝对最大值是f(-1) = 37。（这个绝对最大值不是局部最大值，因为它发生在一个端点）。此外，f(0) = 0是局部最小值，f(3) = -27是局部和绝对最小值。注意到f在x = 4处既没有局部也没有绝对最大值。
极值定理
3. 极值定理
如果函数f在闭区间[a, b]上连续，则函数f在某些数c和d处达到绝对最大值f(c)和绝对最小值f(d)。
极值定理如图所示。注意，函数可以不止一次达到极值。尽管极值定理直观上很有道理，但它的证明非常困难，因此我们省略证明。
如下图所示，如果极值定理中的任何一个假设（连续性或闭区间）被省略，函数可能不会具有极值。
极值定理表明，连续函数在闭区间上有最大值和最小值，但它不告诉我们如何找到这些极值，因此我们从寻找局部极值开始。
费马定理
4. 费马定理
如果函数f在c处有局部极大值或极小值，并且f'(c)存在，那么f'(c) = 0。
证明
假设函数f在c处有局部极大值。根据定义 2，如果x足够接近c，那么f(c) ≥ f(x)。这意味着如果h足够接近0，并且h可以是正数或负数，那么
f(c) ≥ f(c + h)
因此，
f(c + h) - f(c) ≤ 0
我们可以将不等式的两边同时除以一个正数。因此，如果h > 0并且h足够小，我们有
(f(c + h) - f(c)) / h ≤ 0
取这个不等式两边的右极限，我们得到
lim(h→0+) (f(c + h) - f(c)) / h ≤ lim(h→0+) 0 = 0
但是由于f'(c)存在，我们有
f'(c) = lim(h→0) (f(c + h) - f(c)) / h = lim(h→0+) (f(c + h) - f(c)) / h
因此我们已经证明f'(c) ≤ 0。
如果h < 0，那么在我们除以h时，不等式的方向会相反：
(f(c + h) - f(c)) / h ≥ 0 当 h < 0
因此，取这个不等式的左极限，我们有
f'(c) = lim(h→0) (f(c + h) - f(c)) / h = lim(h→0-) (f(c + h) - f(c)) / h ≥ 0
我们已经证明f'(c) ≥ 0并且f'(c) ≤ 0。由于这两个不等式必须都成立，唯一的可能性是f'(c) = 0。
我们已经证明了费马定理对于局部极大值的情况。对于局部极小值的情况，可以采用类似的方法。
以下例子提醒我们不要过度解读费马定理：我们不能仅仅通过设定(f'(x) = 0)并求解(x)来找到极值。
例子 5如果f(x) = x^3，则f'(x) = 3x^2，因此f'(0) = 0。但是如图所示，f在0处没有极大值或极小值。
例子 6函数f(x) = |x|在0处有其（局部和绝对）最小值，但这个值不能通过设定f'(x) = 0找到，但f'(0)不存在。
找最大值和最小值
5. 临界数定义
一个函数f的临界数是函数f的定义域中的数c，使得f'(c) = 0或f'(c)不存在。
例子 7找到f(x) = x^(3/5)(4 - x)的临界数。
解使用乘积法则得到：
f'(x) = x^(3/5)(-1) + (4 - x)(3/5)x^(-2/5) = -x^(3/5) + (3(4 - x))/(5x^(2/5))
= (-5x + 3(4 - x))/(5x^(2/5)) = (12 - 8x)/(5x^(2/5))
因此，当12 - 8x = 0时，f'(x) = 0，即x = 3/2，并且当x = 0时，f'(x)不存在。因此，临界数是3/2和0。
用临界数的术语来说，费马定理可以重新表述如下（比较定义 5 和定理 4）：
6
如果函数f在c处有局部极大值或极小值，那么c是f的临界数。
为了找到闭区间上连续函数的绝对最大值或最小值，我们注意到它要么是局部极值（在这种情况下，根据定理 6，它发生在临界数处），要么发生在区间的端点。因此，以下三步程序总是有效。
闭区间法
要在闭区间[a, b]上找到连续函数f的绝对最大值和最小值：
- 找出f在(a, b)内的临界数处的值。
- 找出f在区间端点的值。
- 第1步和第2步中值最大的就是绝对最大值，值最小的就是绝对最小值。
例子 8找到函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 1在区间-1/2 ≤ x ≤ 4上的绝对最大值和最小值。
解
由于f在[-1/2, 4]上连续，我们可以使用闭区间法：
f(x) = x^3 - 3x^2 + 1
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
由于f'(x)在所有x处都存在，唯一的临界数出现在f'(x) = 0时，即x = 0或x = 2。注意，这些临界数都在区间[-1/2, 4]内。
这些临界数处f的值为：
f(0) = 1
f(2) = -3
区间端点处f的值为：
f(-1/2) = 1/8
f(4) = 17
比较这四个值，我们看到绝对最大值是f(4) = 17，绝对最小值是f(2) = -3。
例子 9
(a) 使用绘图设备估计函数f(x) = x - 2sin x在区间0 ≤ x ≤ 2π上的绝对最小值和最大值。
(b) 使用微积分找到精确的最小值和最大值。
解答
(b) 函数f(x) = x - 2sin x在区间[0, 2π]上是连续的。由于f'(x) = 1 - 2cos x，我们有f'(x) = 0当cos x = 1/2时，这发生在x = π/3或x = 5π/3。在这些临界数处f的值是：
f(π/3) = π/3 - 2sin(π/3) = π/3 - √3 ≈ -0.684853
以及
f(5π/3) = 5π/3 - 2sin(5π/3) = 5π/3 + √3 ≈ 6.968039
区间端点处f的值是：
f(0) = 0
f(2π) = 2π ≈ 6.28
比较这四个值并使用闭区间法，我们看到绝对最小值是f(π/3) = π/3 - √3并且绝对最大值是f(5π/3) = 5π/3 + √3。部分 (a) 中的值可用来检查我们的工作。
例子 10哈勃太空望远镜于1990年4月24日由发现号航天飞机发射。该任务从起飞t = 0到固体火箭助推器在t = 126秒时抛弃期间，航天飞机的速度模型为：
v(t) = 0.001302t^3 - 0.09029t^2 + 23.61t - 3.083
（以英尺每秒为单位）。使用该模型，估计从起飞到助推器抛弃期间航天飞机的加速度的绝对最大值和最小值。
解答
我们需要的是加速度函数的极值，而不是给定的速度函数。所以首先我们需要对速度函数求导以找到加速度：
a(t) = v'(t) = d/dt(0.001302t^3 - 0.09029t^2 + 23.61t - 3.083)
= 0.003906t^2 - 0.18058t + 23.61
现在我们对区间[0, 126]上的连续函数a应用闭区间法。其导数为：
a'(t) = 0.007812t - 0.18058
唯一的临界数出现在a'(t) = 0时：
t1 = 0.18058 / 0.007812 ≈ 23.12
计算临界数和端点处的(a(t))值，我们有：
a(0) = 23.61
a(t1) ≈ 21.52
a(126) ≈ 62.87
因此，最大加速度约为62.87 ft/s^2，最小加速度约为21.52 ft/s^2。