祖冲之的“竭尽法”：将π计算到小数点后七位的数学奇迹

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祖冲之的“竭尽法”：将π计算到小数点后七位的数学奇迹

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https://www.163.com/dy/article/IR6ARJFN05565Y17.html

https://blog.csdn.net/AIGCer/article/details/136290454

http://www.matedig.com/2024/04/16/%E5%9C%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E6%98%AF%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%9A%84%EF%BC%9F%E7%A5%96%E5%86%B2%E4%B9%8B%E7%9A%84%E7%BC%80%E6%9C%AF%E5%B1%85%E7%84%B6%E5%A4%B1%E4%BC%A0%E4%BA%86/

https://www.cnblogs.com/apachecn/p/18471735

https://m.qidian.com/ask/qamycclzfur

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https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%80%BC

https://www.cnblogs.com/apachecn/p/18462322

10.

https://shuajuanzi.com/questionPage.aspx?id=3089558&xd=2&chid=2

11.

https://www.taijizhe.com/topic.php?vid=3681

公元5世纪，南北朝时期的数学家祖冲之通过一种被称为“竭尽法”的独特算法，成功将圆周率π的值精确到小数点后七位，这一成就领先西方近千年。他不仅证明了π的值在3.1415926和3.1415927之间，还给出了两个近似分数：约率为22/7，密率为355/113。这一突破性的成果，不仅展示了中国古代数学的辉煌成就，也为后世的科学研究奠定了重要基础。

“竭尽法”：从简单到极致的数学智慧

祖冲之的“竭尽法”，实际上是一种基于多边形逼近法的改进算法。这种方法的核心思想是通过不断增加内接和外切正多边形的边数，使多边形的周长逐渐逼近圆的周长，从而得到更精确的π值。

具体操作步骤如下：

初始多边形：从一个正六边形开始，因为正六边形的边长等于圆的半径，便于计算。设圆的半径为1，则正六边形的边长也为1。
递推公式：祖冲之可能使用了类似于刘徽的割圆术中的递推公式，通过已知的N边形边长计算2N边形的边长。这个递推公式可以表示为：

[
L(2N) = \sqrt{2 - 2\sqrt{1 - \left(\frac{L(N)}{2}\right)^2}}
]

其中，L(N)表示N边形的边长。
迭代计算：从正六边形开始，通过递推公式不断加倍边数，直到达到24576边形。每次迭代都需要保持足够的有效数字，以确保最终结果的准确性。
计算π值：当达到24576边形时，通过计算多边形的周长与圆的直径之比，得到π的近似值。