球体与正四面体切接关系及计算

球体与正四面体切接关系及计算

当两个非常特殊的多面体——正四面体和旋转体——球相遇时，它们之间会发生怎样的几何关系？本文将详细探讨正四面体与球体的切接关系，包括内切球、棱切球和外接球的计算方法，并通过一个具体的高一训练题目展示这些计算的实际应用。

正四面体与球体的切接

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球体与正四面体相关计算

• 如图所示，设正四面体(S-ABC)的棱长为(AB=a)，点(E)为下底面(ABC)的中心，则容易证明(SE\perp)平面(ABC)，则(SE)为 正四面体的高，点(O)为(SE)的四等分点且靠近点(E)，则线段(OE)为内切球的半径， 线段(OF)为棱切球的半径， 线段(OS)为外接球的半径。

① 首先从理论上说明线段(OE)为内切球的半径；

连结(SF)和(SG)，过点(O)分别作(OM\perp SF)于(M)，(ON\perp SG)于(N)，容易说明(OE)，(OM)，(ON)分别是点(O)到平面(ABC)，平面(SBC)，平面(SAB)的距离，通过计算能得到(OE=OM=ON=\cfrac{\sqrt{6}}{12}a)，同理也能计算点(O)到平面(SAC)的距离也是(\cfrac{\sqrt{6}}{12}a)，故点(O)到正四面体的四个表面的距离相等，则点(O)为内切球的球心，则线段(OE)为内切球的半径；

线段(OF)为棱切球的半径，类比上法，只要计算说明(OF=OG)等；

线段(OS)为外接球的半径，类比上法，只要计算说明(OS=OA=OB=OC)；

② 计算线段(OE)为内切球的半径，线段(OF)为棱切球的半径，线段(OS)为内切球的半径的长度

其高为(h=\cfrac{\sqrt{6}a}{3})

• 正四面体的内切球球心、棱切球球心、外接球球心是同一个点，在正四面体的高上，是高线上接近底面的四等分点。

• 正四面体的内切球半径(R_{内}=\cfrac{\sqrt{6}a}{12}=\cfrac{1}{4}h=IF)；

• 正四面体与各棱相切的棱切球的半径(R_{棱}=\cfrac{\sqrt{2}a}{4}=IE)；

• 正四面体的外接球半径(R_{外}=\cfrac{\sqrt{6}a}{4}=IC)；

• 正四面体的内切球半径与外接球半径之比为(R_{内}：R_{外}=1：3)；(R_{内}=\cfrac{1}{4}h)；(R_{外}=\cfrac{3}{4}h)；(h=\cfrac{\sqrt{6}}{3}a)；

球体与正四面体转换

【2024高一训练题目】已知三棱锥(S-ABC)的所有棱长均为(2)，球(O)为三棱锥(S-ABC)的外接球，则球(O)的表面积为【(\qquad)】

$A.\pi$ $B.2\pi$ $C.4\pi$ $D.6\pi$

解：三棱锥(S-ABC)的所有棱长均为(2)，则其为正四面体，求其外接球的半径， 常考虑以下两种思路：

法1：将正四面体补体为正方体，比较容易的做法是先做出正方体，然后在其中连出来个正四面体，如图所示，

由正四面体的棱长为(2)，可以求解得到正方体的棱长为(\sqrt{2})，故易得正方体的体对角线为(\sqrt{6})，故正四面体的外接球即正方体的外接球，故外接球(O)的半径为(R)(=)(\cfrac{\sqrt{6}}{2})，故(S_{表})(=)(4)(\pi)(R^2)(=)(6\pi)，故选(D).

法2：做出正四面体，如图所示，(E)为点(S)在下底面的垂足且为(\triangle ABC)的重心，由于(AB=2)，则(BF=1)，(AF=\sqrt{3})，(AE=\cfrac{2\sqrt{3}}{3})，则(SE=\cfrac{2\sqrt{6}}{3})，故外接球(O)的半径为(R)(=)(\cfrac{3}{4})(\times)(\cfrac{2\sqrt{6}}{3})(=)(\cfrac{\sqrt{6}}{2})， 故(S_{表})(=)(4)(\pi)(R^2)(=)(6\pi)，故选(D).

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