待定系数法详解

待定系数法详解

《 待定系法》

一，待定系数法的起源：

为什么要用待定系数法？

求值是数学基本问题。

约分是求值主要方式。

（含字母约分和式子整体约分）

同构是约分的前提条件。

待定系数是同构的方法。

待定系数→同构多项式→约分→求值

二，待定系法的核心：两式恒等，对应项系数相等；两式若不能恒等，对应项系数之比相等。从而相成两式的倍数关系。

详见手写内容。

三，待定系数法的类型

1，一次函数与常数

3X+5与7同构。

①构造同类式：形式相同

（一次函数）。

令7=（3X+5）+2—3X

2，一次函数与正比例函数

3X+5与4X

①构造同类式

令4X=K（3X+5）—5K

4X十0=3KX+5K—5K

4X=3KX，0=5K—5K（多余步骤）

4X=3KX+5K—5K

4=3K，K=4/3

③代入同构

4X=（4/3）（3X+5）—20/3

3， 一次函数与一个一次函数

4X+7与3X+5同构

令4X+7=K（3X+5）—5K+7

这里面有个疑问：为什么4X+7不能直接等于K（3X+5），这是因为你假设4X与3X有K倍关系可直接4X=3KX，K=4/3，但你总不能同样说7与5有K倍关系7是5的4/3倍吧？所以只能假设4X与3X有K倍关系，不能同时假设7与5也有K倍关系。

4X+7=3KX+5K—5K+7

根据恒等式得

3K=4，7=5K—5K+7（这个不必写）

得K=4/3。所以：

4X+7=（4/3）（3X+5）—20/3+7

=（4/3）（3X+5）+1/3

同样

4X+7y与3X+5y同构

令4X+7y=K（3X+5y）—5Ky+7y

4X+7y=3KX+5Ky-5Ky+7y

4X=3KX，K=4/3

∴4X+7y=（4/3）（3X+5y）+（1/3）y

4，一次函数同构两个一次函数

9X+11与（2X+3）+（5X+7）同构

令9X+11=K（2X+3）+f（5X+7）

9X+11=2KX+3K+5fX+7f

9X+11=（2k+5f）X+（3K+7f）

2K+5f=9，3K+7f=11

K=—8，f=5

∴9X+11=—8（2X+3）+5（5X+7）

9X+11y与（2X+3y）+（5X+7y）同构，方法同上。

如果是一元二次或二元二次，同理同法：构造恒等式，对应系数相等。

1，一个二次函数对一个二次函数。

5X²十4y²与2X²+3y²同构

令5X²+4y²=K（2X²十3y²）—3Ky²+4y²

则5X²+4y²=2KX²+3Ky²—3Ky²+4y²

根据恒等式得

5X²=2KX²，

4y²=3Ky²—3Ky²+4y²（这个是多会的，是为了让学生理解恒等式对应各项（或各项系数）都相等。

K=5/2

5X²+4y²

=（5/2）（2X²+3y²）—（7/2）y²

但是

（m+2）X+3my与5X+7y同构时，必须是对应系系数成比例：

（m+2）：3m=5：7，m=7/4

（m+2）X+3my

=（15/4）X+（21/4）y

=3/4（5X+7y）

另外

a²+4b²+c²≥2ab+3bc的同构

令a²+Kb²+（4—K）b²+c²≥2ab+3bc

得a²+Kb²≥2（√K）ab

（4—K）b²+c²≥2（√4—K）bc

∴a²+4b²+c²=a²+Kb²十（4—K）b²+c²≥2（√K）ab+2（√4—K）bc

对应项系数成比例

2（√K）：2（√4—K）=2：3

K=16/13

∴a²+4b²+c²=[a²+16/13b²]+[（4—16/13）b²+c²]≥看图片，复杂分数编辑不成。

另外

4ab≤2a+b同构

4/Ka×Kb≤（4/Ka+Kb）²÷4

=（2/Ka+K/2b）²

对应项系系数成比例

2/K：k=2：1，得K=√2

∴4ab=4/√2a·√2b≤（4/√2a+√2b）²÷4=[√2/2（2a+b）]²=1/2（2a+b）²

附

4X与3x+5同构：

4X=4X+n—n（补齐常数项），在4X+n与3X+5同构中，对应项系数成比例，4：n=3：5，n=20/3。

∴4X=4X+20/3-20/3=4/3（3X+5）-20/3

四，待定系数法的应用：

应用一

基本不等式最值定理：积定和最小，和定积最定。

求两式和最小值时，必有两式积为定值，而互为倒数的两数（两式）之积为天然定值，若想成为倒数，分子和分母必须相同，这就需要同构。

例题与解析以图片形式呈现。